W tym zadaniu udowodnij, że trójkąt równoboczny o boku ma największe pole wśród wszystkich trójkątów równoramiennych o obwodzie
– ramię trójkąta
– podstawa trójkąta
⋀
⋀
⋀ ⋀
⋀ ⋀
Oznacz:
– jako ramię trójkąta
– jako podstawę trójkąta
Z treści zadania wiesz, że obwód trójkąta równoramiennego jest równy p.
Aby policzyć pole skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa:
Funkcja licząca pole trójkąta w zależności od długości ramienia ma postać:
Zapisz potrzebne założenia:
⋀
⋀
⋀ ⋀
⋀ ⋀
Stąd dziedzina funkcji to:
Oblicz pochodną funkcji F:
Mianownik powyższego wyrażenia będzie zawsze dodatni, gdy:
Zbadaj znak licznika:
Wynika stąd, że:
Zatem maksimum wynosi , co oznacza, że:
Stąd największe pole ma trójkąt równoboczny o boku długości .
Zadanie 1.4.
279Zadanie 1.5.
279Zadanie 1.6.
279Zadanie 1.8.
279Zadanie 1.9.
280Zadanie 1.11.
280Zadanie 1.12.
280Zadanie 1.13.
280Zadanie 1.15.
280Zadanie 1.16.
280Zadanie 1.17.
281Zadanie 1.18.
281Zadanie 1.19.
281Zadanie 1.20.
281Zadanie 2.
281Zadanie 4.
281Zadanie 2.4.
285Zadanie 2.5.
286Zadanie 2.6.
286Zadanie 2.7.
286Zadanie 2.8.
286Zadanie 2.10.
286Zadanie 2.11.
286Zadanie 2.12.
286Zadanie 3.4.
295Zadanie 3.5.
295Zadanie 3.6.
295Zadanie 3.7.
295Zadanie 3.8.
295Zadanie 3.9.
296Zadanie 3.10.
296Zadanie 3.13.
296Zadanie 3.14.
297Zadanie 2.
297Zadanie 4.6.
304Zadanie 4.7.
304Zadanie 4.8.
304Zadanie 4.9.
304Zadanie 4.10.
305Zadanie 4.11.
305Zadanie 4.12.
305Zadanie 2.
306Zadanie 5.5.
312Zadanie 5.6.
312Zadanie 5.7.
313Zadanie 5.8.
313Zadanie 5.11.
313Zadanie 5.12.
314Zadanie 5.14.
314Zadanie 5.15.
314Zadanie 6.5.
323Zadanie 6.13.
324Zadanie 7.4.
333Zadanie 7.5.
333Zadanie 7.6.
333Zadanie 7.7.
333Zadanie 7.8.
334Zadanie 7.10.
334Zadanie 8.4.
342Zadanie 8.5.
342Zadanie 8.6.
342Zadanie 8.7.
343Zadanie 8.8.
343Zadanie 9.4.
353Zadanie 9.7.
353Zadanie 9.8.
353Zadanie 9.16.
355Zadanie 27.
368Zadanie 28.
368Zadanie 29.
368Zadanie 30.
368Zadanie 32.
368