Wykaż, że gdy środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie, to punkt ten dzieli każdą ze środkowych w stosunku 2:1, gdy liczymy od wierzchołka.
Środkowe poprowadzone z wierzchołków A i B:
Odcinki AP i BQ są środkowymi trójkąta, więc punkty P i Q są środkami boków BC i AC. W trójkącie odcinek łączący środki dwóch boków jest zawsze równoległy do trzeciego. Więc:
Dodatkowo:
- kąty wierzchołkowe
oraz
- kąty naprzemianległe
Więc trójkąty ABO i POQ są podobne z cechy KKK.
Zauważ, że jeśli odcinek łączy środki dwóch boków i jest równoległy do trzeciego, to jest on o połowę krótszy niż bok do którego jest równoległy. Więc:
Skoro trójkąty ABO i POQ są podobne, to można obliczyć skalę ich podobieństwa:
Na podstawie powyżej obliczonej skali można obliczyć w jakim stosunku punkt O dzieli środkowe AP i BQ.
To kończy dowód.
Środkowe poprowadzone z wierzchołków A i C:
Odcinki AP i CR są środkowymi trójkąta, więc punkty P i R są środkami boków BC i AB. W trójkącie odcinek łączący środki dwóch boków jest zawsze równoległy do trzeciego. Więc:
Dodatkowo:
- kąty wierzchołkowe
oraz
- kąty naprzemianległe
Więc trójkąty ASC i PSR są podobne z cechy KKK.
Zauważ, że jeśli odcinek łączy środki dwóch boków i jest równoległy do trzeciego, to jest on o połowę krótszy niż bok do którego jest równoległy. Więc:
Skoro trójkąty ASC i PSR są podobne, to można obliczyć skalę ich podobieństwa:
Na podstawie powyżej obliczonej skali można obliczyć w jakim stosunku punkt S dzieli środkowe AP i CR.
To kończy dowód.
Na podstawie poprzednich obliczeń wiadomo, że
Więc punkt
leży w tym samym miejscu co punkt
, więc
. Oznacza to, że wszystkie środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie.
To kończy dowód.
Zadanie 1
274Ćwiczenie 1
275Ćwiczenie 2
276Zadanie 1
276Zadanie 3
277Zadanie 5
277Zadanie 10
277Ćwiczenie 2
280Ćwiczenie 3
280Ćwiczenie 5
281Ćwiczenie 6
281Zadanie 1
282Zadanie 8
282Ćwiczenie 1
283Ćwiczenie 2
283Ćwiczenie 5
284Ćwiczenie 6
284Zadanie 1
285Zadanie 5
285Zadanie 6
286Ćwiczenie 1
287Ćwiczenie 2
287Ćwiczenie 3
288Ćwiczenie 4
289Ćwiczenie 5
289Zadanie 1
289Zadanie 3
289Zadanie 5
290Zadanie 12
290Ćwiczenie 2
291Ćwiczenie 3
291Ćwiczenie 5
292Zadanie 2
292Zadanie 3
293Zadanie 4
293Zadanie 5
293Zadanie 6
293Zadanie 7
293Zadanie 11
294Zadanie 13
294Zadanie 14
294Zadanie 1
296Zadanie 2
296Zadanie 4
296Ćwiczenie 1
297Ćwiczenie 3
298Ćwiczenie 5
298Ćwiczenie 6
298Zadanie 1
299Zadanie 3
299Zadanie 5
299Zadanie 14
300Ćwiczenie 1
302Zadanie 1
303Zadanie 1
306Zadanie 3
306Zadanie 4
306Zadanie 1
307Zadanie 2
307Zadanie 5
307Zadanie 7
307