Dana jest funkcja:
Udowodnij, że dla
liczba -1 jest największą wartością jaką ona przyjmuje.
Rozpatrz funkcję
:
Funkcja g jest funkcją kwadratową. Ramiona jej wykresu są skierowane w dół.
Jej pierwiastki:
.
Wierzchołek paraboli:
.
Wierzchołek paraboli leży na krańcu przedziału
. Funkcja jest zatem na nim rosnąca, a wartość największą przyjmuje dla:
Funkcja f jest rosnąca, co wynika z faktu, że w podstawie logarytmu jest liczba
.
Zatem, skoro funkcja g jest liczbą logarytmowaną we wzorze funkcji f, a obie funkcje na rozpatrywanym przedziale są rosnące, to argumenty, dla których przyjmują one wartości największe i najmniejsze będą takie same.
Z tego wynika, że na przedziale
funkcja f osiąga wartość największą dla:
Wynosi ona:
Co należało wykazać.
Rozpatrz funkcję g, której wzorem będzie liczba logarytmowana we wzorze funkcji logarytmicznej f.
Przeanalizuj funkcję g na przedziale
i zauważ, że jest ona na nim rosnąca i osiąga wartość największą dla:
Zwróć uwagę, że funkcja f jest funkcją rosnąca w przedziale
, co wynika z podstawy logarytmu w jej wzorze.
Zatem, skoro funkcje f i g są rosnące na tym samym przedziale, to argumenty, dla których osiągają one wartości największe i najmniejsze są takie same.
Wywnioskuj, że funkcja f na rozpatrywanym przedziale osiąga wartość największą dla
. Oblicz ją i zauważ, że wynosi ona -1, co kończy dowód.
W zadaniu pojawia się liczba e (która jest wartością stałą, a jej przybliżenie wynosi 2,72) oraz logarytm naturalny, który jest logarytmem o podstawie e.
Zadanie 2.1.
29Zadanie 2.2.
29Zadanie 2.3.
29Zadanie 2.4.
29Zadanie 2.5.
29Zadanie 2.6.
30Zadanie 2.7.
30Zadanie 2.8.
30Zadanie 2.9.
30Zadanie 2.10.
30Zadanie 2.11.
31Zadanie 2.19.
31Zadanie 2.25.
32Zadanie 2.26.
32Zadanie 2.28.
33Zadanie 2.29.
33Zadanie 2.30.
33Zadanie 2.31.
33Zadanie 2.32.
33Zadanie 2.33.
33Zadanie 2.34.
34Zadanie 2.35.
34Zadanie 2.36.
34Zadanie 2.37.
34Zadanie 2.38.
34Zadanie 2.40.
34Zadanie 2.41.
35Zadanie 2.42.
35Zadanie 2.43.
35Zadanie 2.44.
35Zadanie 2.45.
35Zadanie 2.46.
36Zadanie 2.47.
36Zadanie 2.48.
36Zadanie 2.49.
36Zadanie 2.52.
36Zadanie 2.53.
37Zadanie 2.54.
37Zadanie 2.55.
37Zadanie 2.56.
37Zadanie 2.57.
37Zadanie 2.58.
37Zadanie 2.59.
38Zadanie 2.60.
38Zadanie 2.61.
38Zadanie 2.62.
38Zadanie 2.63.
38Zadanie 2.64.
38Zadanie 2.65.
39Zadanie 2.66.
39Zadanie 2.67.
39Zadanie 2.68.
39Zadanie 2.69.
39Zadanie 2.70.
39Zadanie 2.71.
40Zadanie 2.72.
40Zadanie 2.73.
40Zadanie 2.74.
40Zadanie 2.75.
40Zadanie 2.76.
40Zadanie 2.77.
41Zadanie 2.78.
41Zadanie 2.79.
41Zadanie 2.80.
41Zadanie 2.81.
41Zadanie 2.82.
42Zadanie 2.83.
42Zadanie 2.84.
42Zadanie 2.85.
42Zadanie 2.86.
42Zadanie 2.87.
43Zadanie 2.90.
43Zadanie 2.91.
43Zadanie 2.92.
44Zadanie 2.93.
44Zadanie 2.94.
44Zadanie 2.95.
44Zadanie 2.96.
44Zadanie 2.97.
45Zadanie 2.98.
45Zadanie 2.99.
45Zadanie 2.100.
45Zadanie 2.101.
45Zadanie 2.102.
46Zadanie 2.103.
46Zadanie 2.104.
46Zadanie 2.105.
46Zadanie 2.106.
47Zadanie 2.107.
47Zadanie 2.108.
47Zadanie 2.112.
48Zadanie 2.113.
48Zadanie 11.
49Zadanie 13.
49Zadanie 14.
50Zadanie 15.
50Zadanie 16.
50Zadanie 17.
50Zadanie 18.
50Zadanie 26.
51Zadanie 27.
51Zadanie 35.
52Zadanie 36.
52Zadanie 37.
52