Dany jest nieskończony ciąg zdefiniowany jako:
Wyznacz jego granicę.
Zacznij od uporządkowania mianownika ułamka. Zauważ, że jest to suma wyrazów pewnego ciągu.
Skorzystaj ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu:
Liczbę n w kontekście ciągu z mianownika należy traktować jako wartość stałą. Różnica sąsiednich wyrazów tego ciągu jest zatem wartością stałą, a co za tym idzie, ciąg jest arytmetyczny.
Sumę jego wyrazów można zatem obliczyć z odpowiedniego wzoru:
Ponownie skorzystaj ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu:
Wstaw wyznaczoną sumę do mianownika rozpatrywanego ciągu:
Oblicz granicę ciągu:
W powyższym wyrażeniu tylko wyrazy 2 i
zmierzają do swoich wartości liczbowych. Pozostałe wyrażenia zmierzają do 0. Granica ma zatem postać:
Zacznij od uporządkowania mianownika ułamka. Zauważ, że jest on sumą wyrazów pewnego ciągu. Zbadaj, że jest to ciąg arytmetyczny i oblicz tę sumę za pomocą odpowiedniego wzoru:
, gdzie a1 i an są kolejno pierwszym i ostatnim wyrazem tego ciągu.
Wstaw wyznaczoną sumę do mianownika ułamka.
Oblicz granicę ciągu. W tym celu skróć możliwe wyrażenia i zbadaj, do jakich wartości zmierzają poszczególne wyrazy.
Przy porządkowaniu poszczególnych wyrażeń wykorzystaj własności:
Zadanie 2.1.
29Zadanie 2.2.
29Zadanie 2.3.
29Zadanie 2.4.
29Zadanie 2.5.
29Zadanie 2.6.
30Zadanie 2.7.
30Zadanie 2.8.
30Zadanie 2.9.
30Zadanie 2.10.
30Zadanie 2.11.
31Zadanie 2.19.
31Zadanie 2.25.
32Zadanie 2.26.
32Zadanie 2.28.
33Zadanie 2.29.
33Zadanie 2.30.
33Zadanie 2.31.
33Zadanie 2.32.
33Zadanie 2.33.
33Zadanie 2.34.
34Zadanie 2.35.
34Zadanie 2.36.
34Zadanie 2.37.
34Zadanie 2.38.
34Zadanie 2.40.
34Zadanie 2.41.
35Zadanie 2.42.
35Zadanie 2.43.
35Zadanie 2.44.
35Zadanie 2.45.
35Zadanie 2.46.
36Zadanie 2.47.
36Zadanie 2.48.
36Zadanie 2.49.
36Zadanie 2.52.
36Zadanie 2.53.
37Zadanie 2.54.
37Zadanie 2.55.
37Zadanie 2.56.
37Zadanie 2.57.
37Zadanie 2.58.
37Zadanie 2.59.
38Zadanie 2.60.
38Zadanie 2.61.
38Zadanie 2.62.
38Zadanie 2.63.
38Zadanie 2.64.
38Zadanie 2.65.
39Zadanie 2.66.
39Zadanie 2.67.
39Zadanie 2.68.
39Zadanie 2.69.
39Zadanie 2.70.
39Zadanie 2.71.
40Zadanie 2.72.
40Zadanie 2.73.
40Zadanie 2.74.
40Zadanie 2.75.
40Zadanie 2.76.
40Zadanie 2.77.
41Zadanie 2.78.
41Zadanie 2.79.
41Zadanie 2.80.
41Zadanie 2.81.
41Zadanie 2.82.
42Zadanie 2.83.
42Zadanie 2.84.
42Zadanie 2.85.
42Zadanie 2.86.
42Zadanie 2.87.
43Zadanie 2.90.
43Zadanie 2.91.
43Zadanie 2.92.
44Zadanie 2.93.
44Zadanie 2.94.
44Zadanie 2.95.
44Zadanie 2.96.
44Zadanie 2.97.
45Zadanie 2.98.
45Zadanie 2.99.
45Zadanie 2.100.
45Zadanie 2.101.
45Zadanie 2.102.
46Zadanie 2.103.
46Zadanie 2.104.
46Zadanie 2.105.
46Zadanie 2.106.
47Zadanie 2.107.
47Zadanie 2.108.
47Zadanie 2.112.
48Zadanie 2.113.
48Zadanie 11.
49Zadanie 13.
49Zadanie 14.
50Zadanie 15.
50Zadanie 16.
50Zadanie 17.
50Zadanie 18.
50Zadanie 26.
51Zadanie 27.
51Zadanie 35.
52Zadanie 36.
52Zadanie 37.
52