Twoim zadaniem jest na podstawie informacji zawartych w zadaniu obliczyć jak dawno temu zmarła kobieta, której zmumifikowane ciało znaleziono w 1835 w Danii.

W 1977 roku, dzięki technice datowania węglem-14, znaleziono próbkę zawierającą tylko 74% ilości początkowego izotopu węgla-14, co oznacza udział procentowy k = 0,74. To informacja kluczowa do oszacowania czasu, jaki upłynął od momentu wytworzenia próbki.

Aby oszacować ten czas, używasz równania opisującego związek między początkową liczbą jąder izotopu węgla-14 (oznaczoną jako $\text{[math]}$ ) a ilością jąder pozostałych po pewnym czasie (oznaczoną jako N(t)):

$\text{[math]}$

W tym równaniu:

- k to udział procentowy izotopu węgla-14 (0,74),

- $\text{[math]}$ to początkowa liczba jąder izotopu węgla-14 (którą chcesz obliczyć),

- N(t) to liczba jąder izotopu węgla-14 pozostałych po pewnym czasie (co jest znane).

Kolejnym krokiem jest wykorzystanie wzoru opisującego rozpad połowiczy izotopu węgla-14:

$\text{[math]}$

W tym wzorze:

- N(t) to liczba jąder izotopu węgla-14 pozostałych po pewnym czasie,

- $\text{[math]}$ to początkowa liczba jąder izotopu węgla-14 (którą oblicz),

- t to czas trwania rozpadu,

- $\text{[math]}$ to czas połowicznego rozpadu izotopu węgla-14 (wynoszący 5730 lat).

Następnie zastosuj właściwości logarytmów, aby rozwiązać równanie i obliczyć czas t:

$\text{[math]}$

Rozwiązujesz to równanie, aby znaleźć czas t:

Korzystając z wartości T1/2 dla izotopu węgla-14, która wynosi 5730 lat, oblicz czas t. W wyniku obliczeń otrzymujesz przybliżoną wartość wynoszącą około 2490 lat.

$\text{[math]}$

Aby znaleźć datę, odejmujesz ten czas od roku 1977, co daje przybliżoną datę 500 roku p.n.e.

2490 - 1977 = 513

Odpowiedź: Kobieta zmarła około 500 roku p.n.e.

To zadanie polega na wykorzystaniu techniki datowania węglem-14 (radiowęglowego) do określenia wieku próbki zawierającej izotop węgla-14. Radiowęgiel-14 jest izotopem węgla, który ulega naturalnemu rozpadowi radioaktywnemu z czasem, a jego tempo rozpadu jest dobrze znane.

Ogólny proces polega na tym, że organizmy żyjące na Ziemi, takie jak rośliny, pobierają węgiel-14 z atmosfery w trakcie procesu fotosyntezy. Kiedy organizmy te umierają, przestają pobierać węgiel-14, a poziom tego izotopu w ich organizmach zaczyna maleć z czasem ze względu na rozpad radioaktywny. Dlatego, pomiar ilości węgla-14 pozostałego w próbce pozwala określić, jak dawno dana roślina lub organizm przestał pobierać węgiel-14, co z kolei pomaga w ustaleniu wieku próbki.

W tym zadaniu masz próbkę, która zawierała tylko 74% ilości początkowego węgla-14 (0,74 k). Chcesz obliczyć, ile czasu minęło od momentu, kiedy ta próbka miała pełną ilość węgla-14 do chwili obecnej.

Aby to zrobić, korzystasz z równania opisującego rozpad połowiczy izotopu węgla-14. Używasz informacji o udziale procentowym (k), początkowej liczbie jąder (N0), czasie trwania rozpadu (t) i czasie połowicznego rozpadu ( $\text{[math]}$ = 5730 lat). Korzystając z logarytmów, oblicz czas (t), który upłynął od momentu, kiedy próbka miała pełną ilość węgla-14, do momentu, w którym stwierdzono jej obecną zawartość (74%).

Ostatecznie, odejmujesz ten obliczony czas od roku, w którym przeprowadzono badanie (1977), aby określić przybliżoną datę, w której próbka zawierała pełną ilość węgla-14. W tym konkretnym przypadku wynosi to około 500 roku p.n.e.