Twoim zadaniem jest udowodnić, że izotop $\text{[math]}$ stanowił ponad 3% masy uranu 2 mld lat temu.

Znasz założenia:

Używasz do obliczeń następujących oznaczeń wielkości fizycznych:

$\text{[math]}$ - masa uranu-235 ok. 2 mld lat temu,

$\text{[math]}$ - masa uranu-238 ok. 2 mld lat temu,

$\text{[math]}$ - obecna masa uranu-235,

$\text{[math]}$ - obecna masa uranu-238,

$\text{[math]}$ - czas trwania rozpadu uranu,

$\text{[math]}$ - część złoża uranu, jaką obecnie stanowi uran-235,

$\text{[math]}$ - cześć złoża uranu, jaką ok. 2 mld lat temu stanowił uran-235.

TWOJA TEZA:

Chcesz wykazać, że przed 2 mld lat izotop uranu-235 stanowił ponad 3% masy całego złoża uranu, czyli: $\text{[math]}$ .

TWÓJ DOWÓD:

Około 2 mld lat temu całkowite złoże uranu miało masę równą sumie mas poszczególnych izotopów uranu:

$\text{[math]}$

Obecnie złoże to ma masę odpowiadającą sumie mas poszczególnych izotopów uranu obecnie:

$\text{[math]}$

Znasz, jaką część złoża obecnie stanowi uran-235, czyli możesz ją przedstawić jako iloraz obecnej masy izotopu uranu-235 do masy całego złoża:

$\text{[math]}$

Masę próbki pozostałą po pewnym czasie w wyniku połowicznego rozpadu początkowej liczby obiektów przedstawiasz wzorem:

$\text{[math]}$

gdzie:

$\text{[math]}$ - masa próbki pozostała po pewnym czasie,

$\text{[math]}$ - początkowa masa próbki,

$\text{[math]}$ - czas trwania rozpadu,

$\text{[math]}$ - czas połowicznego rozpadu.

W tabeli 8 na stronie 307 książki podane są czasy połowicznego rozpadu dla różnych izotopów uranu. Zwróć uwagę, że czas rozpadu dla uranu-238 przewyższa 2 miliardy lat, dlatego:

$\text{[math]}$

Natomiast dla izotopu uranu-235, wynosi on:

$\text{[math]}$

Co daje:

$\text{[math]}$

Wprowadź oznaczenie dla ilorazu czasu rozpadu i półrozpadu: $\text{[math]}$

Możesz wówczas zapisać:

$\text{[math]}$

Wzór na masę izotopu uranu-238 obecnie i przez ok. 2 mld lat:

$\text{[math]}$

Mnożysz na krzyż:

$\text{[math]}$

Czyli również:

$\text{[math]}$

Ilość izotopu uranu-235, która stanowiła złoże uranu około 2 miliardy lat temu, można przedstawić poprzez porównanie masy tego izotopu z 2 miliardów lat temu do ogólnej masy złoża uranu w tym czasie.

$\text{[math]}$

Oznaczasz, ile wynosi p:

$\text{[math]}$

Podstaw do wzoru:

$\text{[math]}$

Ponieważ:

$\text{[math]}$

Udowodniłeś więc założenie:

$\text{[math]}$

Aby rozwiązać to zadanie, musisz skupić się na informacjach dotyczących izotopów uranu i ich rozpadu. Naturalny reaktor działał samorzutnie z powodu większej zawartości izotopu U-235 w przeszłości. Aby wykazać, że izotop ten stanowił ponad 3% masy uranu 2 miliardy lat temu, musisz:

1. Skorzystać z informacji o czasie połowicznego rozpadu izotopu U-235.

2. Wykorzystać fakt, że obecna zawartość izotopu U-235 wynosi 0,7%.

3. Zastosować wzór matematyczny, który opisuje rozpad izotopu w czasie, uwzględniając jego czas połowicznego rozpadu.

4. Podstawić do wzoru odpowiednie wartości i obliczyć procentową zawartość izotopu U-235 2 miliardy lat temu.

5. Porównać wynik z wartością 3%, aby udowodnić tezę zadania.

Kiedy już wykonasz wszystkie te kroki, będziesz miał dowód na to, że 2 miliardy lat temu izotop U-235 stanowił więcej niż 3% masy całego złoża uranu.