W tym zadaniu musisz obliczyć jaki jest czas połowicznego rozpadu izotopu, którego po 4 h aktywności próbka zmniejszyła się o 40%.

Dane:

$\text{[math]}$

Szukane:

$\text{[math]}$

Z treści zadania wiesz, że w podanym czasie aktywność próbki zmniejszyła się o $\text{[math]}$ początkowej aktywności. Wzór dla tego to:

$\text{[math]}$

Legenda:

- $\text{[math]}$ - początkowa aktywność próbki,

- $\text{[math]}$ - aktywność próbki po podanym czasie,

- $\text{[math]}$ - procent o jaką zmniejszyła się aktywność próbki.

Wzór na aktywność próbki po pewnym czasie rozpadu jej początkowej liczby jąder:

$\text{[math]}$

Przy czym:

- $\text{[math]}$ - początkowa aktywność próbki,

- $\text{[math]}$ - aktywność próbki po podanym czasie,

- t - czas trwania rozpadu

- $\text{[math]}$ - czas połowicznego rozpadu

Co daje:

$\text{[math]}$

Skoro $\text{[math]}$ , to $\text{[math]}$ . Z tego wynika:

$\text{[math]}$

Korzystasz z własności logarytmów:

$\text{[math]}$

Można zapisać:

$\text{[math]}$

Podstaw do wzoru:

$\text{[math]}$

Odpowiedz: Czas połowicznego rozpadu dla tego izotopu wynosi około 5,4 h.

Najpierw określ, jaką część aktywności straciła próbka po 4 h, czyli 40% czyli 0,4. Następnie wyznacz, ile aktywności próbki pozostało po 4 h, czyli $\text{[math]}$ . Aktywność próbki po pewnym czasie można przedstawić wzorem $\text{[math]}$ , gdzie $\text{[math]}$ to początkowa aktywność, $\text{[math]}$ to aktywność po czasie t, a $\text{[math]}$ to czas połowicznego rozpadu. Używając podanych danych i tego wzoru, możesz wyznaczyć $\text{[math]}$ poprzez równanie $\text{[math]}$ . Teraz rozwiąż to równanie dla $\text{[math]}$ używając logarytmów. Możesz to zrobić przekształcając równanie i korzystając z własności logarytmów. Po rozwiązaniu otrzymasz czas połowicznego rozpadu izotopu.