W tym zadaniu musisz obliczyć, w jakiej odległości od soczewki należy ustawić ekran, żeby równoległa wiązka światła padająca na soczewkę skupiała się na nim w postaci koła o określonej średnicy. Mając daną średnicę wiązki światła oraz ogniskową soczewki, twoim celem jest znalezienie dwóch potencjalnych odległości od soczewki, w których otrzymasz pożądaną średnicę skupionej wiązki na ekranie.

Dane:

d = 5 cm (średnica wiązki światła padającej na soczewkę)

D = 2 cm (oczekiwana średnica wiązki po przejściu przez soczewkę)

f = 10 cm (ogniskowa soczewki)

Szukasz wartości $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ , czyli pierwsza oraz druga odległość, w jakiej skupiana wiązka światła mogła mieć oczekiwaną średnicę (odpowiednio $\text{[math]}$ - przed i $\text{[math]}$ - za ogniskiem) od soczewki.

Aby zrozumieć problem, rozważ sytuację, w której wiązka światła skupia się po przejściu przez soczewkę. Mając podaną ogniskową oraz średnicę padającej wiązki, można skorzystać z podobieństwa trójkątów, aby określić, w jakich odległościach od soczewki wiązka skupi się w koło o średnicy 2 cm.

Narysuj rysunek pomocniczy:

Z podobieństwa trójkątów: $\text{[math]}$

Skąd:

$\text{[math]}$ , gdzie y - odległość między skupioną wiązką a ogniskiem soczewki.

Dla pierwszej potencjalnej odległości, $\text{[math]}$ , od soczewki:

$\text{[math]}$

Stąd:

$\text{[math]}$

Podstawiając wartości:

$\text{[math]}$

Dla drugiej potencjalnej odległości, $\text{[math]}$ , od soczewki:

$\text{[math]}$

Podstawiając wartości:

$\text{[math]}$

Odpowiedź: Aby uzyskać oczekiwaną średnicę skupionej wiązki, ekran powinien być umieszczony w odległości 6 cm lub 14 cm od soczewki.

Rozwiązanie opiera się na wykorzystaniu podobieństwa trójkątów, co pozwala na wyznaczenie odległości między skupioną wiązką światła a ogniskiem soczewki. W pierwszym kroku musisz wyznaczyć wartość "y" korzystając z podobieństwa trójkątów. Następnie dla dwóch różnych sytuacji (przed i za ogniskiem) obliczasz odpowiednie odległości, w których skupiona wiązka będzie miała pożądaną średnicę. Wprowadzenie danych liczbowych do uzyskanych wzorów pozwala na ostateczne wyznaczenie poszukiwanych odległości.