W tym zadaniu musisz udowodnić, że dla niewielkich kątów ugięcia, odległości między kolejnymi prążkami interferencyjnymi są zbliżone do siebie. Następnie, na podstawie informacji z trzeciego zadania, obliczysz błąd względny takiego przybliżenia.

Teza: W przypadku niewielkich kątów ugięcia, odległość między dwoma kolejnymi prążkami interferencyjnymi jest stała i zależy jedynie od długości fali, odległości między szczelinami i odległości siatki dyfrakcyjnej od ekranu.

Dowód:

Wzór na wzmocnienie fali w zależności od kąta ugięcia promieni świetlnych można zapisać jako:

$\text{[math]}$

Gdzie:

- $\text{[math]}$ to kolejny numer prążka

- $\text{[math]}$ to długość fali

- $\text{[math]}$ to odległość między szczelinami

- $\text{[math]}$ to kąt, pod którym promień fali się ugina

Gdy kąty są niewielkie, możesz przyjąć:

$\text{[math]}$

Stąd:

$\text{[math]}$

Gdzie:

- $\text{[math]}$ to odległość prążka n-tego rzędu od środkowego,

- $\text{[math]}$ to odległość siatki dyfrakcyjnej od ekranu.

Przekształcając wyrażenia, dostajesz:

$\text{[math]}$

Wtedy dla:

$\text{[math]}$

itp.

$\text{[math]}$

Z powyższego wynika, że odległość n-tego prążka od środkowego to:

$\text{[math]}$

Jeśli zwrócisz uwagę na różnicę między dwoma kolejnymi prążkami:

$\text{[math]}$

Zatem: $\text{[math]}$

Błąd względny przybliżenia:

W poprzednim zadaniu obliczyłeś, że dokładna odległość między prążkami piątego i szóstego to około 17 cm. Natomiast przybliżenie, korzystając z powyższych obliczeń, daje:

$\text{[math]}$

Błąd względny to:

$\text{[math]}$

Na samym początku musisz zapoznać się z podstawowym wzorem opisującym kąt ugięcia w zależności od numeru prążka, który to wzór to: $\text{[math]}$ . Pamiętaj, że $\text{[math]}$ to numer prążka, $\text{[math]}$ to długość fali, a $\text{[math]}$ to odległość między szczelinami. Jeżeli kąty są małe, możesz przyjąć, że $\text{[math]}$ . Ułatwia to obliczenia, ponieważ dla małych kątów wartości tych funkcji trygonometrycznych są bardzo zbliżone. Korzystając z funkcji trygonometrycznych i związków geometrycznych, możesz teraz przedstawić wzór na odległość prążka n-tego rzędu od środkowego jako: $\text{[math]}$ . To jest kluczowy wzór, który pozwoli Ci obliczyć odległość każdego prążka od środkowego. Aby obliczyć różnicę między dwoma kolejnymi prążkami, wystarczy odjąć odległość jednego prążka od odległości poprzedniego. Dla przykładu: $\text{[math]}$ . W przypadku niewielkich kątów, ta różnica będzie stała i równa odległości pierwszego prążka od środkowego. Na końcu musisz porównać wartość dokładną różnicy między prążkami z wartością przybliżoną. Błąd względny możesz obliczyć używając wzoru: $\text{[math]}$ .