Twoim zadaniem jest wyprowadzenie wzoru na promień pierwszej orbity elektronowej oraz obliczenia wartości tego promienia.

Z pierwszego postulatu Bohra:

$\text{[math]}$

gdzie:

$\text{[math]}$ – masa elektronu

$\text{[math]}$ – prędkość elektronu

$\text{[math]}$ – promień orbity elektronu

$\text{[math]}$ – orbita, na której znajduje się elektron

$\text{[math]}$ – stała Plancka ( $\text{[math]}$ )

Ruch elektronu w atomie wodoru można opisać jako ruch po okręgu, w przypadku którego rolę siły dośrodkowej pełni siła elektrycznego przyciągania elektronu i jądra (protonu). Wykorzystując zapis pochodzący z prawa Coulomba, możemy wyrazić siłę elektryczną za pomocą poniższego wzoru:

$\text{[math]}$

gdzie:

$\text{[math]}$ – stała elektryczna

$\text{[math]}$ – przenikalność elektryczna próżni

$\text{[math]}$ – oddziałujące ładunki elektryczne

$\text{[math]}$ – odległość między ładunkami

Wiedząc, że bezwzględne wartości dla ładunków protonu i elektronu równe są ładunkowi elementarnemu $\text{[math]}$ siłę $\text{[math]}$ możemy zapisać:

$\text{[math]}$

Ze wzoru na siłę dośrodkową $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

Otrzymujemy układ dwóch równań, które wynikają z równości siły elektrycznej i dośrodkowej ( $\text{[math]}$ ) oraz pierwszego postulatu Bohra:

$\text{[math]}$

Podstawiamy do wzoru wynikającego z I postulatu Bohra:

$\text{[math]}$

Wyznaczamy $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

Wiedząc, że: $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , dla $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

Aby rozwiązać zadanie należy skorzystać z pierwszego postulatu Bohra, który zapisujemy równaniem: $\text{[math]}$ . Korzystając z wiedzy, że ruch elektronu w atomie wodoru można opisać jako ruch po okręgu, gdzie rolę siły dośrodkowej pełni siła elektrycznego przyciągania elektronu i jądra (protonu), tj. stosując prawo Coulomba, które opisane jest wzorem: $\text{[math]}$ oraz wyrażając siłę dośrodkową ogólnym wzorem: $\text{[math]}$ , otrzymujemy dla analizowanego przypadku dwa wzory definiujące siłę dośrodkową. Porównując $\text{[math]}$ , po przekształceniu otrzymujemy wzór na $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .

W ten sposób otrzymujemy dwa równania dla $\text{[math]}$ – z równości siły dośrodkowej i pierwszego postulatu Bohra. Rozwiązaniem układu równań jest zależność na prędkość elektronu: $\text{[math]}$ , którą następnie należy podstawić do wzoru na prędkość elektronu wynikającą z postulatu Bohra: $\text{[math]}$ , otrzymując w ten sposób równanie: $\text{[math]}$ . Po przekształceniu wzoru, szukany promień r wyrażony jest wzorem: $\text{[math]}$ . Do podanego wzoru podstawiamy znane nam wartości: $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . Obliczony promień pierwszej orbity wynosi $\text{[math]}$ .