W tym zadaniu wyznacz wzoru na wyraz ogólny i sumę
wyrazów
przedstawionych wykresów ciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego. Zbadaj, czy istnieją wyrazy tych dwóch ciągów, które są równe.
Ciąg arytmetyczny:
Ciąg geometryczny:
Odpowiedź: Wzory wynoszą dla ciągu arytmetycznego:
,
, a dla ciągu geometrycznego:
,
. Ponadto nie istnieją wyrazy tych ciągów, które są równe.
Ciąg arytmetyczny:
Zauważ, że dwa pierwsze wyrazy tego ciągu to:
A więc różnica tego ciągu wynosi:
Wyraz ogólny tego ciągu to:
Suma n początkowych wyrazów tego ciągu to:
Ciąg geometryczny:
Zauważ, że pierwsze dwa wyrazy tego ciągu to:
A więc iloraz wynosi:
Wyraz ogólny tego ciągu to:
Suma n początkowych wyrazów tego ciągu to:
Czy któreś wyrazy obydwu ciągów są równe?
Wyrazy ciągu
są dodatnie oraz leżą na prostej
Zauważ, że tylko nieparzyste wyrazy ciągu
są dodatnie, zatem:
A więc dodatnie wyrazy ciągu
leżą na wykresie funkcji
Naszkicuj wykresy funkcji:
Zauważ, że argument dla którego wartości obu funkcji są równe jest większy od 1 ale mniejszy od 2, zatem nie jest to liczba naturalna. Stąd wynika, że nie istnieją wyrazy w obu ciągach, które są równe.
Zadanie 1.5.
199Zadanie 1.6.
199Zadanie 1.7.
199Zadanie 1.9.
200Zadanie 1.10.
200Zadanie 1.11.
200Zadanie 1.12.
200Zadanie 1.13.
200Zadanie 1.14.
201Zadanie 1.18.
201Zadanie 1.19.
201Zadanie 1.20.
201Zadanie 1.21.
201Zadanie 1.22.
202Zadanie 1.24.
202Zadanie 1.26.
202Zadanie 1.27.
202Zadanie 1.28.
202Zadanie 1.30.
202Zadanie 1.31.
203Zadanie 1.32.
203Zadanie 1.33.
203Zadanie 1.34.
203Zadanie 2.6.
211Zadanie 2.7.
212Zadanie 2.8.
212Zadanie 2.9.
212Zadanie 2.10.
212Zadanie 2.11.
212Zadanie 2.21.
213Zadanie 2.24.
213Zadanie 2.26.
214Zadanie 2.27.
214Zadanie 2.29.
214Zadanie 2.30.
214Zadanie 2.35.
214Zadanie 3.5.
220Zadanie 3.6.
220Zadanie 3.8.
221Zadanie 3.9.
221Zadanie 3.13.
221Zadanie 3.16.
221Zadanie 3.17.
222Zadanie 3.31.
223Zadanie 4.6.
231Zadanie 4.7.
232Zadanie 4.8.
232Zadanie 4.9.
232Zadanie 4.10.
232Zadanie 4.12.
232Zadanie 4.13.
232Zadanie 4.22.
233Zadanie 5.4.
238Zadanie 5.5.
239Zadanie 5.7.
239Zadanie 5.8.
239Zadanie 5.18.
240Zadanie 5.19.
241Zadanie 6.6.
253Zadanie 6.14.
254Zadanie 6.19.
255Zadanie 6.21.
255Zadanie 6.22.
255Zadanie 3.
256Zadanie 37.
261Zadanie 38.
261Zadanie 40.
262Zadanie 41.
262Zadanie 42.
262Zadanie 43.
262Zadanie 47.
262Zadanie 53.
263Zadanie 60.
264Zadanie 73.
265Zadanie 86.
266