W tym zadaniu wskaż trzy liczby wymierne, które tworzą ciąg arytmetyczny, wiedząc, że ich suma kwadratów jest równa
, a suma ich odwrotności jest równa
.
lub
Odpowiedź: Liczby wynoszą
.
Oznacz nasze liczby
Wyraz środkowy jest
. Zauważ, że aby policzyć sumę ich odwrotności żadna z liczb nie jest zerem. Z treści zadania możesz zapisać równania, które te liczby muszą spełniać.
Wstaw wyrażenie
do drugiego równania.
Będziesz szukać pierwiastków wymiernych wielomianu trzeciego stopnia, ponieważ szukasz x wymiernego jako wyrazu środkowego naszego ciągu. Masz równanie
Wiemy, że dla pierwiastka wymiernego
p jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a q jest dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze. Zatem wypisz nasze możliwości:
Będziesz wstawiać po kolei możliwości i sprawdzać czy dana liczba spełnia równania – tzn. czy jest pierwiastkiem.
1.
2.
3.
4.
5.
Znalazłeś wymierny pierwiastek.
Zatem
Stąd
lub
Zatem wyrazy ciągu
Uwaga: Dla
wyrazy będą takie same, ale w odwrotnej kolejności).
Zadanie 1.5.
199Zadanie 1.6.
199Zadanie 1.7.
199Zadanie 1.9.
200Zadanie 1.10.
200Zadanie 1.11.
200Zadanie 1.12.
200Zadanie 1.13.
200Zadanie 1.14.
201Zadanie 1.18.
201Zadanie 1.19.
201Zadanie 1.20.
201Zadanie 1.21.
201Zadanie 1.22.
202Zadanie 1.24.
202Zadanie 1.26.
202Zadanie 1.27.
202Zadanie 1.28.
202Zadanie 1.30.
202Zadanie 1.31.
203Zadanie 1.32.
203Zadanie 1.33.
203Zadanie 1.34.
203Zadanie 2.6.
211Zadanie 2.7.
212Zadanie 2.8.
212Zadanie 2.9.
212Zadanie 2.10.
212Zadanie 2.11.
212Zadanie 2.21.
213Zadanie 2.24.
213Zadanie 2.26.
214Zadanie 2.27.
214Zadanie 2.29.
214Zadanie 2.30.
214Zadanie 2.35.
214Zadanie 3.5.
220Zadanie 3.6.
220Zadanie 3.8.
221Zadanie 3.9.
221Zadanie 3.13.
221Zadanie 3.16.
221Zadanie 3.17.
222Zadanie 3.31.
223Zadanie 4.6.
231Zadanie 4.7.
232Zadanie 4.8.
232Zadanie 4.9.
232Zadanie 4.10.
232Zadanie 4.12.
232Zadanie 4.13.
232Zadanie 4.22.
233Zadanie 5.4.
238Zadanie 5.5.
239Zadanie 5.7.
239Zadanie 5.8.
239Zadanie 5.18.
240Zadanie 5.19.
241Zadanie 6.6.
253Zadanie 6.14.
254Zadanie 6.19.
255Zadanie 6.21.
255Zadanie 6.22.
255Zadanie 3.
256Zadanie 37.
261Zadanie 38.
261Zadanie 40.
262Zadanie 41.
262Zadanie 42.
262Zadanie 43.
262Zadanie 47.
262Zadanie 53.
263Zadanie 60.
264Zadanie 73.
265Zadanie 86.
266