W tym zadaniu podaj, ile wynosi pole zamalowanej figury po sześciu krokach, jeżeli wiadomo, że w trójkącie równobocznym o boku 1 połączono środki jego boków i otrzymano cztery trójkąty równoboczne. Ponadto środkowy z nich został zamalowany, a każdy z trzech pozostałych znów podzielono na cztery trójkąty. Następnie z każdej czwórki zamalowano środkowy i powtórzono podział pozostałych trójkątów. Proces ten został powtórzony jeszcze 6 razy.
Odpowiedź: Pole zamalowanej figury wynosi
.
Oblicz pole początkowego trójkąta równobocznego:
Wzór na pole trójkąta równobocznego o boku długości a:
Pole dużego trójkąta:
W pierwszym kroku powstaje jeden trójkąt o polu cztery razy mniejszym od pola trójkąta wyjściowego.
W drugim kroku powstają trzy trójkąty o polu cztery razy mniejszym od pola trójkąta powstałego w pierwszym kroku.
W trzecim kroku powstaje dziewięć trójkątów o polu cztery razy mniejszym od pola trójkąta powstałego w drugim kroku, itd.
Powstają zatem dwa ciągi
i
. Niech ciąg
będzie opisywał liczbę trójkątów, a ciąg
opisywał pole.
W pierwszym kroku powstaje jeden trójkąt:
Zauważ, że w każdym kolejnym kroku powstaje ich 3 razy więcej, zatem iloraz wynosi 3. Wzór ogólny ciągu to:
Pole jednego trójkąta powstałego w pierwszym kroku wynosi:
Iloraz tego ciągu wynosi
.
Wyznacz n-ty wyraz tego ciągu geometrycznego:
Stwórz teraz ciąg
taki, że:
Ciąg ten opisuje pole trójkątów, które zacieniowałeś w danym kroku. (Gdyż mnoży liczbę tych trójkątów przez pole danego trójkąta).
Oblicz sumę wszystkich zacieniowanych trójkątów, które powstaną w 6 krokach. W tym celu oblicz sumę 6 początkowych wyrazów naszego ciągu
. Potrzebujesz znać pierwszy wyraz ciągu oraz jego iloraz.
Zadanie 1.5.
199Zadanie 1.6.
199Zadanie 1.7.
199Zadanie 1.9.
200Zadanie 1.10.
200Zadanie 1.11.
200Zadanie 1.12.
200Zadanie 1.13.
200Zadanie 1.14.
201Zadanie 1.18.
201Zadanie 1.19.
201Zadanie 1.20.
201Zadanie 1.21.
201Zadanie 1.22.
202Zadanie 1.24.
202Zadanie 1.26.
202Zadanie 1.27.
202Zadanie 1.28.
202Zadanie 1.30.
202Zadanie 1.31.
203Zadanie 1.32.
203Zadanie 1.33.
203Zadanie 1.34.
203Zadanie 2.6.
211Zadanie 2.7.
212Zadanie 2.8.
212Zadanie 2.9.
212Zadanie 2.10.
212Zadanie 2.11.
212Zadanie 2.21.
213Zadanie 2.24.
213Zadanie 2.26.
214Zadanie 2.27.
214Zadanie 2.29.
214Zadanie 2.30.
214Zadanie 2.35.
214Zadanie 3.5.
220Zadanie 3.6.
220Zadanie 3.8.
221Zadanie 3.9.
221Zadanie 3.13.
221Zadanie 3.16.
221Zadanie 3.17.
222Zadanie 3.31.
223Zadanie 4.6.
231Zadanie 4.7.
232Zadanie 4.8.
232Zadanie 4.9.
232Zadanie 4.10.
232Zadanie 4.12.
232Zadanie 4.13.
232Zadanie 4.22.
233Zadanie 5.4.
238Zadanie 5.5.
239Zadanie 5.7.
239Zadanie 5.8.
239Zadanie 5.18.
240Zadanie 5.19.
241Zadanie 6.6.
253Zadanie 6.14.
254Zadanie 6.19.
255Zadanie 6.21.
255Zadanie 6.22.
255Zadanie 3.
256Zadanie 37.
261Zadanie 38.
261Zadanie 40.
262Zadanie 41.
262Zadanie 42.
262Zadanie 43.
262Zadanie 47.
262Zadanie 53.
263Zadanie 60.
264Zadanie 73.
265Zadanie 86.
266