W tym zadaniu oblicz, ile wynosi długość boku trójkąta zamalowanego w szóstym kroku, jeżeli wiadomo, że w trójkącie równobocznym o boku 1 połączono środki jego boków i otrzymano cztery trójkąty równoboczne. Ponadto środkowy z nich został zamalowany, a każdy z trzech pozostałych znów podzielono na cztery trójkąty. Następnie z każdej czwórki zamalowano środkowy i powtórzono podział pozostałych trójkątów. Proces ten został powtórzony jeszcze 6 razy.
Odpowiedź: Długość boku trójkąta wynosi
.
Zacieniowany trójkąt równoboczny powstały w pierwszym kroku ma dwa razy mniejszy bok niż wyjściowy trójkąt równoboczny, czyli:
W drugim kroku zacieniowany trójkąt równoboczny również ma dwa razy mniejszy bo, zatem:
A więc możesz utworzyć ciąg geometryczny, którego wyrazami są długości boków zacieniowanych trójkątów równobocznych, powstałych w danym kroku.
Wzór na wyraz ogólny tego ciągu:
Długość boku trójkąta zacieniowanego w szóstym kroku jest równa wartości odpowiadającej szóstemu wyrazowi naszego ciągu:
Zadanie 1.5.
199Zadanie 1.6.
199Zadanie 1.7.
199Zadanie 1.9.
200Zadanie 1.10.
200Zadanie 1.11.
200Zadanie 1.12.
200Zadanie 1.13.
200Zadanie 1.14.
201Zadanie 1.18.
201Zadanie 1.19.
201Zadanie 1.20.
201Zadanie 1.21.
201Zadanie 1.22.
202Zadanie 1.24.
202Zadanie 1.26.
202Zadanie 1.27.
202Zadanie 1.28.
202Zadanie 1.30.
202Zadanie 1.31.
203Zadanie 1.32.
203Zadanie 1.33.
203Zadanie 1.34.
203Zadanie 2.6.
211Zadanie 2.7.
212Zadanie 2.8.
212Zadanie 2.9.
212Zadanie 2.10.
212Zadanie 2.11.
212Zadanie 2.21.
213Zadanie 2.24.
213Zadanie 2.26.
214Zadanie 2.27.
214Zadanie 2.29.
214Zadanie 2.30.
214Zadanie 2.35.
214Zadanie 3.5.
220Zadanie 3.6.
220Zadanie 3.8.
221Zadanie 3.9.
221Zadanie 3.13.
221Zadanie 3.16.
221Zadanie 3.17.
222Zadanie 3.31.
223Zadanie 4.6.
231Zadanie 4.7.
232Zadanie 4.8.
232Zadanie 4.9.
232Zadanie 4.10.
232Zadanie 4.12.
232Zadanie 4.13.
232Zadanie 4.22.
233Zadanie 5.4.
238Zadanie 5.5.
239Zadanie 5.7.
239Zadanie 5.8.
239Zadanie 5.18.
240Zadanie 5.19.
241Zadanie 6.6.
253Zadanie 6.14.
254Zadanie 6.19.
255Zadanie 6.21.
255Zadanie 6.22.
255Zadanie 3.
256Zadanie 37.
261Zadanie 38.
261Zadanie 40.
262Zadanie 41.
262Zadanie 42.
262Zadanie 43.
262Zadanie 47.
262Zadanie 53.
263Zadanie 60.
264Zadanie 73.
265Zadanie 86.
266