MATeMAtyka. Klasa 1. Zbiór zadań. Zakres podstawowy – rozwiązania i odpowiedzi

Zbiór zadań, Wydawnictwo: Nowa Era

Zadanie 23 - strona 212

W tym zadaniu musisz wykazać, że wierzchołki kątów prostych trójkątów, które zostały zbudowane na równoległoboku tworzą kwadrat.

Rysunek:

Trzeba pokazać, że $\text{[math]}$ oraz że kąty przy wierzchołkach tego kwadratu są równe (czyli maja po $\text{[math]}$ ). Przyjrzyjmy się trójkątowi $\text{[math]}$ . Jest on prostokątny i równoramienny, zatem ma kąt $\text{[math]}$ oraz dwa kąty po $\text{[math]}$ Oznaczmy $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Trójkąty $\text{[math]}$ są przystające, bo mają takie same kąty rozwarte i boki sąsiadujące z tymi kątami. Wobec tego, najdłuższy bok w każdym z tych trójkątów jest sobie równy $\text{[math]}$ . Mają one też takie same kąty, czyli w każdy z nich kąt przy krótszym ramieniu jest taki sam i kąt przy dłuższym ramieniu jest taki sam. Jako że kąt $\text{[math]}$ powstaje przez odjęcie od kąta prostego $\text{[math]}$ kąta $\text{[math]}$ , a następnie dodanie go z drugiej strony, jest to wciąż kąt prosty. Działa to tak samo przy kątach $\text{[math]}$ . Kąty powstałego czworokąta są więc proste – jest on kwadratem.

Do wykazania, że powstała figura jest kwadratem, musisz pokazać, że ma wszystkie boki tej samej długości oraz kąty proste. Stwórz rysunek pomocniczy. Pamiętaj, że sąsiednie kąty równoległoboku dają razem $\text{[math]}$ , więc jeżeli kąt ostry oznaczysz jako $\text{[math]}$ , to kąt rozwarty tego równoległoboku będzie miał miarę $\text{[math]}$ . Skorzystaj też z tego, że kąty w powstałych trójkątach równoramiennych, prostokątnych mają miary $\text{[math]}$ . Wyznacz kąty rozwarte każdego z trójkątów $\text{[math]}$ . Są one taki same. Boki sąsiadujące z tymi kątami też są takie same dla każdego z nich (bo jeden bok to ramię krótszego zbudowanego na równoległoboku trójkąta prostokątnego, a drugie to dłuższe ramię). Wobec tego, trójkąty $\text{[math]}$ są przystające na mocy cechy bok-kąt-bok. Ich najdłuższe boki są w takim razie sobie równe, co daje Ci pierwszy warunek na kwadrat. Do pokazania, że kąty tego czworokąta są proste, przyjrzyj się jednemu z nich. $\text{[math]}$ . W każdym pozostałych kącie sytuacja wygląda tak samo.

Zadanie 7., strona 124, Matematyka. Klasa 2. Zakres podstawowy. Zbiór zadań - rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 4, strona 108, Matematyka z plusem. Klasa 4. Podręcznik - rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie Prosto do matury 4, strona 267, Matematyka. Prosto do matury. Klasa 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Podręcznik - rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 2, strona 102, MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony. Podręcznik - rozwiązania i odpowiedzi

Ćwiczenie 9., strona 14, Matematyka z plusem. Klasa 6. Zeszyt ćwiczeń. Wersja B. Część 1 - rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie Prosto do matury 4., strona 27, Prosto do matury. Klasa 4. Podręcznik. Zakres podstawowy - rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 10 zamknięte, strona 49, Matematyka wokół nas. Klasa 4. Zbiór zadań - rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 2.11, strona 20, Matematyka. Prosto do matury. Klasa 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Podręcznik - rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 3., strona 170, Prosto do matury. Klasa 3. Zakres podstawowy. Podręcznik - rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie Prosto do matury 7., strona 42, Prosto do matury. Matematyka. Klasa 2. Zakres podstawowy. Podręcznik - rozwiązania i odpowiedzi

206

206

206

Zadanie 4

206

206

206

206

206

206

Zadanie 8

206

206

206

Zadanie 9

207

207

207

Zadanie 10

207

207

207

207

207

Zadanie 12

207

207

207

207

207

207

207

207

207

208

208

208

208

208

208

208

208

Zadanie 28

208

208

208

208

Zadanie 1

209

209

209

209

209

209

Zadanie 4

209

209

209

210

Zadanie 6

210

210

210

Zadanie 7

210

210

210

210

210

210

210

Zadanie 12

210

210

210

210

210

210

210

211

211

211

Zadanie 16

211

211

211

Zadanie 17

211

211

211

Zadanie 18

211

211

211

211

212

Zadanie 21

212

212

212

212

212

212

Zadanie 25

212

212

212

212

212

212

212

Zadanie 1

213

213

213

213

Zadanie 2

213

213

213

213

Zadanie 3

213

213

213

Zadanie 4

213

213

213

213

214

214

214

214

214

214

214

215

215

215

Zadanie 15

215

215

215

215

Zadanie 17

215

215

215

215

215

215

215

215

216

216

216

Zadanie 4

216

216

216

216

216

Zadanie 5

216

216

216

216

216

216

216

217

217

217

217

Zadanie 12

217

217

217

217

217

217

218

218

218

218

218

218

218

Zadanie 23

218

218

218

218

218

218

218

218

219

219

Zadanie 3

219

219

219

219

219

219

219

Zadanie 7

220

220

220

220

220

220

220

220

Zadanie 12

220

220

220

220

221

221

221

221

Zadanie 18

221

221

221

221

221

221

Zadanie 22

222

222

222

Zadanie 23

222

222

222

Zadanie 24

222

222

222

222

222

Zadanie 27

222

222

222

Zadanie 1

223

223

223

223

223

Zadanie 2

223

223

223

223

Zadanie 3

223

223

223

223

223

Zadanie 5

223

223

223

223

223

223

224

224

224

224

224

224

224

224

224

225

225

225

Zadanie 21

225

225

225

225

Zadanie 23

225

225

225

Zadanie 24

225

225

225

226

Zadanie 2

226

226

226

226

226

226

226

Zadanie 5

226

226

226

226

226

Zadanie 8

226

226

226

227

227

227

227

227

227

227

227

227

228

228

Zadanie 21

228

228

228

228

Zadanie 23

228

228

228

228

228

228

229

229

229

229

229

Zadanie 6

229

229

229

229

Zadanie 7

229

229

229

Zadanie 8

229

229

229

229

230

230

230

Zadanie 13

230

230

230

230

230

230

230

Zadanie 17

230

230

230

231

231

Zadanie 20

231

231

231

231

231

231

Zadanie 23

231

231

231

231

232

232

Zadanie 26

232

232

232

232

Zadanie 28

232

232

232

232

233

233

233

233

233

233

233

233

234

234

234

234

234

234

Pełny spis treści