Prosto do matury 4. Zakres podstawowy i rozszerzony. Podręcznik - rozwiązania i odpowiedzi

Podręcznik, Wydawnictwo: Nowa Era

Zadanie 1.35. - strona 205

Udowodnij, że $| AM | \cdot | MD | = BN \lor \cdot \lor NC \lor$ , jeśli okrąg wpisany w trapez ABCD $(AB \lor CD)$ jest styczny do ramion AD i BC odpowiednio w punktach M i N.

Trójkąty HEC i CEN, NEB i GEB, AEG i AME oraz MDE i DHE są przystające z cechy BKB: są prostokątne, mają wspólną przeciwprostokątną i jedna z przyprostokątnych jest promieniem okręgu. Więc:

$∢ GAE = ∢ MAE = α$ $∢ GBE = ∢ NBE = β$ $∢ NCE = ∢ HCE = γ$ $∢ HDE = ∢ MDE = δ$ Suma miar kątów leżących przy jednym ramieniu trapezu jest równa $180^{o}$ : $2 α + 2 δ = 180^{o}, 2 β + 2 γ = 180^{o}$ $α + δ = 90^{o}, β + γ = 90^{o}$ Suma miar kątów w trójkącie wynosi $180^{o}$ : $∢ AED = 180^{o} - (90^{o} - α) - (90^{o} - δ) = α + δ = 90^{o}$ $∢ BEC = 180^{o} - (90^{o} - β) - (90^{o} - γ) = β + γ = 90^{o}$

Oznacza to, że trójkąty AED i BEC są prostokątne. W trójkącie prostokątnym iloczyn stosunku długości odcinków na jakie wysokość podzieliła przeciwprostokątną jest równy jej kwadratowi, więc:

$r^{2} = | BN | \cdot | CN |, r^{2} = | AM | \cdot | DM |$ $| BN | \cdot | CN | = | AM | \cdot | DM |$

To kończy dowód.

Zadanie 9, strona 11, Matematyka. Klasa 5. Podręcznik – rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 29, strona 26, Matura z matematyki. Poziom podstawowy. 2025

Zadanie 7, strona 129, Matematyka. Klasa 5. Podręcznik. Część 1 - rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie Pytania i polecenia 1, strona 186, Matematyka z kluczem. Klasa 7. Podręcznik – rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 5, strona 203, MATeMAtyka. Klasa 1. Zbiór zadań. Zakres podstawowy – rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 7.57, strona 172, Matematyka. Klasa 1. Zakres podstawowy. Zbiór zadań - rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 13, strona 53, Matematyka. Klasa 4. Podręcznik - rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie Prosto do matury 3, strona 267, Matematyka. Prosto do matury. Klasa 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Podręcznik - rozwiązania i odpowiedzi

Ćwiczenie 11, strona 74, Matematyka wokół nas. Klasa 4. Podręcznik - rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 8, strona 229, Matematyka z plusem. Klasa 8. Podręcznik – rozwiązania i odpowiedzi

201

201

201

201

201

201

202

202

202

202

202

202

202

202

202

202

202

203

Zadanie 1.19.

203

203

203

203

Zadanie 1.21.

203

203

203

203

203

203

204

204

Zadanie 1.27.

204

204

204

204

204

204

204

204

Zadanie 1.33.

205

205

205

205

205

205

205

205

205

205

217

217

217

217

218

218

218

218

218

218

218

218

218

218

218

218

218

218

218

219

219

219

219

219

219

219

219

219

219

219

219

219

219

220

220

220

220

220

220

220

220

220

220

220

Pełny spis treści