Prosto do matury 4. Zakres podstawowy i rozszerzony. Podręcznik - rozwiązania i odpowiedzi

Podręcznik, Wydawnictwo: Nowa Era

Zadanie 1.27., a) - strona 204

Udowodnij, że trójkąty $A C_{1} B_{1}, C_{1} B A_{1}$ i $B_{1} A_{1} C$ są podobne, jeśli w ostrokątnym trójkącie ABC poprowadzono wysokości $A A_{1}, B B_{1}, C C_{1}$ (zob. rysunek 2).

$∢ B_{1} AM = ∢ A_{1} BM = α$ $∢ C_{1} BM = ∢ B_{1} CM = β$ $∢ A_{1} CM = ∢ C_{1} AM = γ$ Suma miar kątów w trójkącie wynosi $180^{o}$ : $α + β + γ + α + β + γ = 180^{o}$ $α + β + γ = 90^{o}$ $∢ BAC = α + γ = 90^{o} - β = ∢ C_{1} MB = ∢ B_{1} MC$ $∢ ABC = β + α = 90^{o} - γ = ∢ C_{1} MA = ∢ A_{1} MC$ $∢ ACB = β + γ = 90^{o} - α = ∢ B_{1} MA = ∢ A_{1} MB$ Na czworokątach $A C_{1} M B_{1}, B_{1} M A_{1} C, C_{1} M A_{1} B$ można opisać okręgi, ponieważ każdy z nich składa się z suma dwóch trójkątów prostokątnych o wspólnej przeciwprostokątnej, więc: $∢ B C_{1} A = ∢ BM A_{1} = 90^{o} - α$ $∢ B A_{1} C_{1} = ∢ MB C_{1} = 90^{o} - β$ $∢ A C_{1} B_{1} = ∢ AM B_{1} = 90^{o} - α$ $∢ A B_{1} C_{1} = ∢ AM C_{1} = 90^{o} - γ$ $∢ A_{1} B_{1} C = ∢ A_{1} MC = 90^{o} - γ$ $∢ B_{1} A_{1} C = ∢ B_{1} MC = 90^{o} - β$ Oznacza to, że trójkąty $A C_{1} B_{1}, C_{1} B A_{1}$ i $B_{1} A_{1} C$ są podobne z cechy KKK: $90^{o} - α, 90^{o} - β, 90^{o} - γ$ .

To kończy dowód.

Zadanie 6, strona 100, Matematyka. Klasa 8. Zeszyt ćwiczeń – rozwiązania i odpowiedzi

Ćwiczenie 6., strona 243, Matematyka wokół nas. Klasa 5. Podręcznik - rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 55., strona 14, Nowa teraz matura 4. Poziom rozszerzony. Zbiór zadań - rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 9., strona 53, Matematyka z kluczem. Klasa 8. Zbiór zadań – rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 14, strona 79, Matematyka z plusem. Klasa 6. Zeszyt ćwiczeń. Wersja C – rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie branżowe 7., strona 23, To się liczy! Klasa 1. Podręcznik – rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 14., strona 68, Matematyka z plusem. Ułamki. Klasa 4. Zeszyt ćwiczeń. Wersja A. Część 3/3 - rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 5 zamknięte, strona 117, Matematyka wokół nas. Klasa 4. Zbiór zadań - rozwiązania i odpowiedzi

Ćwiczenie 3., strona 250, Matematyka. Klasa 4. Podręcznik – rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 17, strona 49, Matematyka z kluczem. Klasa 4. Zbiór zadań – rozwiązania i odpowiedzi

201

201

201

201

201

201

202

202

202

202

202

202

202

202

202

202

202

203

Zadanie 1.19.

203

203

203

203

Zadanie 1.21.

203

203

203

203

203

203

204

204

Zadanie 1.27.

204

204

204

204

204

204

204

204

Zadanie 1.33.

205

205

205

205

205

205

205

205

205

205

217

217

217

217

218

218

218

218

218

218

218

218

218

218

218

218

218

218

218

219

219

219

219

219

219

219

219

219

219

219

219

219

219

220

220

220

220

220

220

220

220

220

220

220

Pełny spis treści