Prosto do matury 4. Zakres podstawowy i rozszerzony. Podręcznik - rozwiązania i odpowiedzi

Podręcznik, Wydawnictwo: Nowa Era

Zadanie 2.10. - strona 218

Wykaż, że suma kwadratów dwóch liczb całkowitych niepodzielnych przez 3 jest liczbą niepodzielną przez 3.

1 przypadek: obie liczby mają resztę z dzielenia przez 3 równą 1:

$3 m + 1, m \in Z$ $3 n + 1, n \in Z$ ${(3 m + 1)}^{2} + {(3 n + 1)}^{2} = 3 m^{2} + 6 m + 1 + 3 n^{2} + 6 n + 1 = 3 (m^{2} + 2 m + n^{2} + n) + 2 = 3 k + 2, k \in Z$ Liczba $3 k + 2$ przy dzieleniu przez 3 daję resztę 2, więc nie dzieli się przez 3.

2 przypadek: obie liczby mają resztę z dzielenia przez 3 równą 2:

$3 m + 2, m \in Z$ $3 n + 2, n \in Z$ ${(3 m + 2)}^{2} + {(3 n + 2)}^{2} = 3 m^{2} + 12 m + 4 + 3 n^{2} + 12 n + 4 = 3 (m^{2} + 4 m + n^{2} + 4 n + 2) + 2 = 3 k + 2, k \in Z$ Liczba $3 k + 2$ przy dzieleniu przez 3 daję resztę 2, więc nie dzieli się przez 3.

3 przypadek: jedna liczba ma resztę z dzielenia przez 3 równą 1, a druga równą 2:

$3 m + 1, m \in Z$ $3 n + 2, n \in Z$ ${(3 m + 1)}^{2} + {(3 n + 2)}^{2} = 3 m^{2} + 6 m + 1 + 3 n^{2} + 12 n + 4 = 3 (m^{2} + 2 m + n^{2} + 4 n + 1) + 2 = 3 k + 2, k \in Z$ Liczba $3 k + 2$ przy dzieleniu przez 3 daję resztę 2, więc nie dzieli się przez 3.

To kończy dowód.

Zadanie wprowadzające 5., strona 24, Matematyka. Klasa 6. Podręcznik - rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 6., strona 31, Matematyka. Klasa 3. Zakres rozszerzony. Podręcznik - rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 2, strona 28, Matematyka. Klasa 6. Podręcznik - rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 4, strona 127, Matematyka. Klasa 4. Podręcznik. Część 2 - rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 8., strona 180, MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Zbiór zadań – rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 6., strona 51, Matematyka wokół nas. Klasa 5. Zeszyt ćwiczeń. Część 2 - rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 4.13., strona 124, Matematyka. Klasa 3. Zbiór zadań. Zakres rozszerzony – rozwiązania i odpowiedzi

Ćwiczenie sprawdzające 3., strona 58, Matematyka. Klasa 8. Podręcznik - rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 9, strona 196, NOWA MATeMAtyka. Klasa 1. Zakres podstawowy - rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 4., strona 177, Matematyka. Klasa 3. Podręcznik. Zakres podstawowy - rozwiązania i odpowiedzi

201

201

201

201

201

201

202

202

202

202

202

202

202

202

202

202

202

203

Zadanie 1.19.

203

203

203

203

Zadanie 1.21.

203

203

203

203

203

203

204

204

Zadanie 1.27.

204

204

204

204

204

204

204

204

Zadanie 1.33.

205

205

205

205

205

205

205

205

205

205

217

217

217

217

218

218

218

218

218

218

218

218

218

218

218

218

218

218

218

219

219

219

219

219

219

219

219

219

219

219

219

219

219

220

220

220

220

220

220

220

220

220

220

220

Pełny spis treści