Udowodnij, że punkt M jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt $C_{1} B_{1} A_{1}$ , jeśli w ostrokątnym trójkącie ABC poprowadzono wysokości $A A_{1}, B B_{1}, C C_{1}$ (zob. rysunek 2).

$∢ B_{1} AM = ∢ A_{1} BM = α$ $∢ C_{1} BM = ∢ B_{1} C M = β$ $∢ A_{1} CM = ∢ C_{1} AM = γ$ Suma miar kątów w trójkącie wynosi $180^{o}$ : $α + β + γ + α + β + γ = 180^{o}$ $α + β + γ = 90^{o}$ $∢ BAC = α + γ = 90^{o} - β = ∢ C_{1} MB = ∢ B_{1} MC$ $∢ ABC = β + α = 90^{o} - γ = ∢ C_{1} MA = ∢ A_{1} MC$ $∢ ACB = β + γ = 90^{o} - α = ∢ B_{1} MA = ∢ A_{1} MB$ Na czworokątach $A C_{1} M B_{1}, B_{1} M A_{1} C, C_{1} M A_{1} B$ można opisać okręgi, ponieważ każdy z nich składa się z suma dwóch trójkątów prostokątnych o wspólnej przeciwprostokątnej, więc: $∢ B C_{1} A = ∢ BM A_{1} = 90^{o} - α$ $∢ B A_{1} C_{1} = ∢ MB C_{1} = 90^{o} - β$ $∢ A C_{1} B_{1} = ∢ AM B_{1} = 90^{o} - α$ $∢ A B_{1} C_{1} = ∢ AM C_{1} = 90^{o} - γ$ $∢ A_{1} B_{1} C = ∢ A_{1} MC = 90^{o} - γ$ $∢ B_{1} A_{1} C = ∢ B_{1} MC = 90^{o} - β$ $∢ C_{1} A_{1} M = 90^{o} - (90^{o} - β) = β = ∢ B_{1} A_{1} M$ – odcinek $A_{1} M$ jest dwusieczną kąta $B_{1} A_{1} C_{1}$ $∢ A_{1} B_{1} M = 90^{o} - (90^{o} - γ) = γ = ∢ C_{1} B_{1} M$ – odcinek $B_{1} M$ jest dwusieczną kąta $A_{1} B_{1} C_{1}$ $∢ B_{1} C_{1} M = 90^{o} - (90^{o} - α) = α = ∢ A_{1} C_{1} M$ – odcinek $C_{1} M$ jest dwusieczną kąta $A_{1} C_{1} B_{1}$ Punkt M jest punktem przecięcia dwusiecznych trójkąta $A_{1} B_{1} C_{1}$ , więc jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.