Prosto do matury 4. Zakres podstawowy i rozszerzony. Podręcznik - rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 2.6. - strona 218

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $n^{5} + 5 n^{3} - 6 n$ jest podzielna przez 30.

$n^{5} + 5 n^{3} - 6 n = n (n^{4} - 5 n^{2} + 6) = n (n^{2} - 1) (n^{2} + 6) = (n - 1) n (n + 1) (n^{2} + 6)$ Liczby $n - 1, n, n + 1$ są kolejnymi liczbami całkowitymi. Wśród trzech kolejnych liczb całkowitych jedna jest zawsze parzysta, a jedna podzielna przez 3, więc iloczyn liczby parzystej i podzielnej przez 3 zawsze dzieli się przez 6: $2 \cdot 3 = 6$ .

Pozostało wykazać, że podana liczba dzieli się przez 5:

Liczba $n$ przy dzieleniu przez 5 daje resztę 0, to $n$ dzieli się przez 5, więc całe wyrażenie dzieli się przez 5.Liczba $n$ przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1, to $n - 1$ dzieli się przez 5, więc całe wyrażenie dzieli się przez 5.Liczba $n$ przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2, to $n^{2} + 6 = 4 + 6 = 10$ dzieli się przez 5, więc całe wyrażenie dzieli się przez 5.Liczba $n$ przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3, to $n^{2} + 6 = 9 + 6 = 15$ dzieli się przez 5, więc całe wyrażenie dzieli się przez 5.Liczba $n$ przy dzieleniu przez 5 daje resztę 4, to $n + 1$ dzieli się przez 5, więc całe wyrażenie dzieli się przez 5.Iloczyn liczby parzystej, podzielnej przez 3 i podzielnej przez 5 jest zawsze podzielny przez 30: $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$ .