Udowodnij, że trójkąta PKB stanowi $\frac{8}{95}$ pola trójkąta ABC, jeśli na bokach AB i AC trójkąta ABC wybrano odpowiednio punkty K i M takie, że $\frac{| AK |}{| KB |} = \frac{| CM |}{| MA |} = \frac{3}{2}$ . Odcinki BM i CK przecinają się w punkcie P, jak na rysunku 5.

D – punkt przecięcia prostej równoległej do AB przechodzącej przez punkt M prostej CK

E - punkt przecięcia prostej równoległej do AB przechodzącej przez punkt M prostej CB

$h_{1}$ – wysokość trójkąta ACK $h_{2}$ – wysokość trójkąta PKB $| AK | = 3 x, | KB | = 2 x, | AB | = 5 x$ $| CM | = 3 y, | MA | = 2 y, | AC | = 5 y$ $\frac{P_{ABM}}{P_{ABC}} = \frac{| AM |}{| AC |} = \frac{2 y}{5 y} = \frac{2}{5}$ $P_{ABM} = \frac{2}{5} P_{ABC}$ Trójkąty KBP i PMD są podobne z cechy KKK: $∢ PKB = ∢ MDP, ∢ PBK = ∢ PMD$ – kąty naprzemianległe, $∢ MPD = ∢ BPK$ – kąty wierzchołkowe

Z twierdzenia Talesa:

$\frac{| MD |}{| MC |} = \frac{| AK |}{| AC |}$ $\frac{| MD |}{3 y} = \frac{3 x}{5 y}$ $| MD | = \frac{9}{5} x / : 2 x$ $\frac{| MD |}{2 x} = \frac{9}{10}$ $\frac{| MD |}{| KB |} = \frac{9}{10}$ Trójkąty PKB i PDM są podobne w skali $\frac{9}{10}$ , więc: $\frac{| DP |}{| PK |} = \frac{9}{10}$ $| DP | = \frac{9}{10} | PK |$ $| DK | = | PK | + \frac{9}{10} | PK | = \frac{19}{10} | PK |$

Z twierdzenia Talesa:

$\frac{| AM |}{| DK |} = \frac{| AC |}{| CK |}$ $\frac{2 y}{\frac{19}{10} | PK |} = \frac{5 y}{| CK |}$ $\frac{| CK |}{| PK |} = \frac{19}{4}$ $\frac{h_{1}}{h_{2}} = \frac{19}{4}$ $h_{2} = \frac{4}{19} h_{1}$ $P_{PKB} = \frac{1}{2} \cdot h_{2} \cdot | KB | = \frac{4}{19} h_{1} \cdot \frac{2}{5} | AB | = \frac{1}{2} \cdot h_{1} \cdot | AB | \cdot \frac{8}{95} = \frac{8}{95} P_{ABC}$