W zadaniu musisz udowodnić, że funkcja
, gdzie
osiąga najmniejszą wartość równą
.
,
, gdzie:
, gdzie
Aby wyznaczyć dziedzinę funkcji h, należy znaleźć zbiór wartości funkcji g.
Funkcja g jest parabolą o ramionach skierowanych w górę. Sprawdź, czy wierzchołek należy do przedziału:
Wierzchołek należy do przedziału
, zatem dla
funkcja osiągnie najmniejszą wartość, równą:
Największą wartość funkcja może przyjąć na końcach przedziału
, czyli dla
lub:
, zatem największą wartość funkcja przyjmuje dla
.
Zbiorem wartości funkcji g jest zatem przedział
. Jest to także dziedzina funkcji h. Funkcja h jest funkcją ciągłą rosnącą, zatem najmniejszą wartość przyjmie dla
, równą:
Najmniejsza wartość funkcji h jest jednocześnie najmniejszą wartością funkcji f, zatem funkcja
przyjmuje najmniejszą wartość równą
, co należało wykazać.
Funkcja f jest funkcją ciągłą, złożoną z dwóch funkcji ciągłych: funkcji wewnętrznej
, gdzie
, oraz zewnętrznej
, której dziedziną jest zbiór wartości funkcji g. Zbiór wartości funkcji f jest taki sam jak zbiór wartości funkcji zewnętrznej h, zatem, aby udowodnić, że funkcja g osiąga najmniejszą wartość wynoszącą
, musisz znaleźć argument, dla którego funkcja h osiąga najmniejszą wartość.
Ćwiczenie 1.
57Zadanie 1.
61Zadanie 2.
61Zadanie 3.
61Zadanie 4.
61Zadanie 5.
61Zadanie 6.
61Zadanie 7.
62Zadanie 9.
62Zadanie 16.
62Ćwiczenie 1.
64Zadanie 1.
68Zadanie 2.
68Zadanie 5.
69Zadanie 6.
69Zadanie 7.
69Zadanie 8.
69Zadanie 9.
69Zadanie 11.
69Zadanie 12.
69Zadanie 13.
70Zadanie 24.
70Zadanie 1.
77Zadanie 2.
77Zadanie 3.
77Zadanie 4.
77Zadanie 5.
77Zadanie 6.
77Zadanie 7.
77Zadanie 9.
78Zadanie 10.
78Zadanie 11.
78Zadanie 12.
78Zadanie 13.
78Zadanie 14.
78Zadanie 15.
78Zadanie 16.
78Zadanie 1.
83Zadanie 2.
84Zadanie 3.
84Zadanie 4.
84Zadanie 5.
84Zadanie 6.
84Zadanie 7.
84Zadanie 8.
85Zadanie 9.
85Zadanie 12.
85Zadanie 13.
85Zadanie 1.
91Zadanie 2.
92Zadanie 3.
92Zadanie 4.
92Zadanie 5.
92Zadanie 6.
92Zadanie 10.
92Zadanie 1.
98Zadanie 2.
99Zadanie 5.
99Zadanie 6.
99Zadanie 8.
99Zadanie 11.
101Zadanie 18.
101Zadanie 19.
101Zadanie 20.
102Zadanie 21.
102Zadanie 22.
102Zadanie 26.
102Zadanie 27.
102Zadanie 28.
103Zadanie 29.
103Zadanie 32.
103Zadanie 33.
103Zadanie 34.
103Zadanie 36.
103