W zadaniu musisz obliczyć, ile wynosi suma 5 początkowych wyrazów ciągu
, gdzie
, wiedząc, że liczby
są trzema początkowymi wyrazami nieskończonego ciągu arytmetycznego
.
Dziedzina:
nie należy do dziedziny równania, zatem jedynym rozwiązaniem jest
.
Iloraz dwóch sąsiednich wyrazów ciągu jest stały, co oznacza, że ciąg
jest ciągiem geometrycznym o ilorazie
.
Zatem:
Z treści zadania wiesz, że liczby
są trzema kolejnymi początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Korzystając zatem z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, możesz zapisać, że:
Wyznacz dziedzinę równania:
Zatem:
Zapisz obie strony równania w postaci logarytmów o tej samej podstawie. W tym celu skorzystaj z własności działań na logarytmach:
Porównaj liczby logarytmowane:
nie należy do dziedziny równania, zatem jedynym rozwiązaniem jest
.
Znajdź pierwszy i drugi wyraz ciągu:
Ciąg
jest ciągiem arytmetycznym, zatem:
Wzór ogólny ciągu arytmetycznego wygląda następująco:
Podstaw znalezione dane:
Zatem:
Zauważ, że:
Iloraz dwóch sąsiednich wyrazów ciągu jest stały, co oznacza, że ciąg
jest ciągiem geometrycznym o ilorazie
.
Sumę n-początkowych wyrazów ciągu geometrycznego możesz obliczyć ze wzoru:
Gdzie
to pierwszy wyraz ciągu, równy:
Zatem:
Ćwiczenie 1.
57Zadanie 1.
61Zadanie 2.
61Zadanie 3.
61Zadanie 4.
61Zadanie 5.
61Zadanie 6.
61Zadanie 7.
62Zadanie 9.
62Zadanie 16.
62Ćwiczenie 1.
64Zadanie 1.
68Zadanie 2.
68Zadanie 5.
69Zadanie 6.
69Zadanie 7.
69Zadanie 8.
69Zadanie 9.
69Zadanie 11.
69Zadanie 12.
69Zadanie 13.
70Zadanie 24.
70Zadanie 1.
77Zadanie 2.
77Zadanie 3.
77Zadanie 4.
77Zadanie 5.
77Zadanie 6.
77Zadanie 7.
77Zadanie 9.
78Zadanie 10.
78Zadanie 11.
78Zadanie 12.
78Zadanie 13.
78Zadanie 14.
78Zadanie 15.
78Zadanie 16.
78Zadanie 1.
83Zadanie 2.
84Zadanie 3.
84Zadanie 4.
84Zadanie 5.
84Zadanie 6.
84Zadanie 7.
84Zadanie 8.
85Zadanie 9.
85Zadanie 12.
85Zadanie 13.
85Zadanie 1.
91Zadanie 2.
92Zadanie 3.
92Zadanie 4.
92Zadanie 5.
92Zadanie 6.
92Zadanie 10.
92Zadanie 1.
98Zadanie 2.
99Zadanie 5.
99Zadanie 6.
99Zadanie 8.
99Zadanie 11.
101Zadanie 18.
101Zadanie 19.
101Zadanie 20.
102Zadanie 21.
102Zadanie 22.
102Zadanie 26.
102Zadanie 27.
102Zadanie 28.
103Zadanie 29.
103Zadanie 32.
103Zadanie 33.
103Zadanie 34.
103Zadanie 36.
103