W tym zadaniu udowodnij, że podana gra jest sprawiedliwa, wiedząc, że polega ona na dwukrotnym rzucie kostką. W przypadku, gdy w każdym z tych obydwu rzutów wypadnie parzysta liczba oczek lub liczba oczek, która jest większa od 4, ten kto rzucał dopisuje sobie 25 punktów. W każdej innej sytuacji przeciwnik dopisuje sobie 20 punktów.
A – wypada w obu rzutach: parzysta liczba oczek lub liczba oczek większa od 4.
A’ – zdarzenie przeciwne niż A.
Odpowiedź: Podana gra jest sprawiedliwa.
Uwaga: Wynik gry to różnica punktów poszczególnych graczy. Musisz uwzględnić 4 rzuty, ponieważ w zależności od rzutów gracza 1 będzie się też zmieniała liczba punktów gracza 2.
Rzucasz dwa razy kostką:
A – wypada w obu rzutach: parzysta liczba oczek lub liczba oczek większa od 4.
A’ – zdarzenie przeciwne niż A.
Stąd oznacza to:
1) Gracz 1 wygrywa i gracz 2 też:
2) Gracz 1 wygrywa a gracz 2 nie:
3) Gracz 1 przegrywa a gracz 2 wygrywa:
4) Oboje przegrywają:
Zauważ, że
Oblicz wartość oczekiwaną każdego z graczy w grze po 4 rzutach, tj, jakby każdy z nich zagrał po jednej kolejce. Wartość oczekiwana gracza 1:
Analogicznie gracz 2:
Wartość oczekiwana gry to różnica tego ile „średnio” zdobędą punktów gracze. Ich wartości punktów są równe, stąd oczekiwana gry jest równa zero, gra jest sprawiedliwa.
Zadanie 2.4.
380Zadanie 2.5.
380Zadanie 2.6.
380Zadanie 2.7.
380Zadanie 2.9.
381Zadanie 2.10.
381Zadanie 2.12.
381Zadanie 2.13.
381Zadanie 2.19.
382Zadanie 3.8.
391Zadanie 3.10.
391Zadanie 3.11.
391Zadanie 3.13.
391Zadanie 3.17.
392Zadanie 3.18.
392Zadanie 3.21.
392Zadanie 3.23.
392Zadanie 3.28.
393Zadanie 3.30.
393Zadanie 4.10.
402Zadanie 4.11.
402Zadanie 4.13.
402Zadanie 4.16.
402Zadanie 4.17.
403Zadanie 4.18.
403Zadanie 4.19.
403Zadanie 4.21.
403Zadanie 4.22.
403Zadanie 4.26.
404Zadanie 4.28.
404Zadanie 4.30.
404Zadanie 4.31.
405Zadanie 5.6.
414Zadanie 5.7.
414Zadanie 5.8.
415Zadanie 5.16.
416Zadanie 5.25.
417Zadanie 8.4.
441Zadanie 8.8.
443Zadanie 8.12.
443Zadanie 8.13.
444Zadanie 8.14.
444Zadanie 8.16.
445Zadanie 8.21.
445Zadanie 9.5.
457Zadanie 9.6.
458Zadanie 9.8.
458Zadanie 9.9.
459Zadanie 44.
464Zadanie 46.
464Zadanie 52.
465Zadanie 59.
466