W tym zadaniu musisz udowodnić, że wielomian W(x) ma tylko pierwiastki należące do liczb wymiernych.
W(x) = 6x3 + 19x2 + 16x + 4
st W(x) = 3
W(x)–wszystkie współczynniki całkowite
a0 = 4
a3 = 6
Liczba p–całkowity dzielnik liczby 4 tylko, jeśli p ∊ {–4,–2,–1, 1, 2, 4}
Liczba q–całkowity dzielnik liczby 6, tylko dla q ∊ {–6,–3,–2,–1, 1, 2, 3, 6}
Sprawdźmy, czy wspólne dzielniki liczb p i q, są pierwiastkami tego wielomianu:
Dla liczb: {–2,–1. 1, 2}
W(–2) = 6∙(–2)3 + 19∙(–2)2 + 16∙(–2) + 4
W(–2) = 6∙(–8) + 19∙4–32 + 4
W(–2) = –48 + 76–32 + 4
W(–2) = 0
Liczba–2 jest pierwiastkiem wielomianu więc:
W(x) = (x–2)∙Q(x)
Q(x) = a3x2 + a2x1 + a1x + a0
a3 = 3, a2 = –14, a1 = 17, a0 = –6
dla c = –2
| W(x) | a3 | a2 | a1 | ao |
| –2 | 6 | 19 | 16 | 4 |
| 6 | 7 | 2 | 0 | |
| Q(x) | b2 | b1 | b0 | r |
b2 = a3
b1 = a2 + c∙b2
bo = a1 + c∙b1
r = ao + c∙b0
Q(x) = 6x2 + 7x + 2
W(x) = (x–2)(6x2 + 7x + 2)
Q(x) = 0⇒ 6x2 + 7x + 2 = 0
∆ = (7)2–4∙2∙6
∆ = 49–48
∆ = 1
√∆ = 1
W(x) ma wszystkie pierwiastki wymierne.
W pierwszym kroku skorzystaj z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych. Sprawdź, czy wielomian może mieć pierwiastek całkowity–jeśli tak wyznacz go. Następnie wykorzystaj schemat Hornera, by wyznaczyć równanie kwadratowe, które jest składową wielomianu W(x) i sprawdź, czy równanie to ma pierwiastki wymierne. Pamiętaj, że liczby całkowite należą do zbioru liczb wymiernych.
Zadanie 1.
264Zadanie 2.
264Zadanie 3.
265Zadanie 4.
265Zadanie 5.
265Zadanie 7.
265Zadanie 10.
265Ćwiczenie 1.
266Ćwiczenie 2.
267Zadanie 1.
269Zadanie 2.
269Zadanie 3.
269Zadanie 4.
269Zadanie 5.
269Zadanie 6.
269Zadanie 7.
269Zadanie 8.
269Zadanie 9.
269Zadanie 1.
272Zadanie 2.
272Zadanie 3.
272Zadanie 4.
272Zadanie 5.
272Zadanie 6.
272Zadanie 7.
272Ćwiczenie 3.
274Ćwiczenie 4.
274Ćwiczenie 6.
276Ćwiczenie 7.
277Zadanie 1.
277Zadanie 2.
278Zadanie 3.
278Zadanie 4.
278Zadanie 5.
278Zadanie 6.
278Zadanie 7.
278Zadanie 8.
278Zadanie 9.
278Zadanie 1.
283Zadanie 3.
283Zadanie 4.
284Zadanie 5.
284Zadanie 13.
284Ćwiczenie 4.
286Zadanie 1.
290Zadanie 2.
290Zadanie 3.
290Zadanie 4.
290Zadanie 5.
290Zadanie 6.
290Ćwiczenie 4.
294Zadanie 1.
295Zadanie 2.
296Zadanie 3.
296Zadanie 4.
296Zadanie 5.
296Zadanie 6.
296Zadanie 7.
296Zadanie 8.
296Zadanie 9.
296Zadanie 10.
296Zadanie 1.
301Zadanie 2.
301Zadanie 3.
301Zadanie 6.
302Zadanie 7.
302Zadanie 9.
302Zadanie 11.
302Zadanie 12.
302Zadanie 13.
302Ćwiczenie 2.
304Ćwiczenie 3.
305Zadanie 1.
306Zadanie 2.
306Zadanie 3.
307Zadanie 4.
307Zadanie 5.
307Zadanie 6.
307Zadanie 7.
307Zadanie 8.
307Zadanie 9.
307Zadanie 10.
307Ćwiczenie 1.
308Zadanie 1.
310Zadanie 2.
310Zadanie 3.
311Zadanie 4.
311Zadanie 5.
311Zadanie 6.
311Zadanie 7.
311Zadanie 8.
311Zadanie 9.
311Zadanie 10.
311Zadanie 17.
315Zadanie 18.
315Zadanie 24.
315Zadanie 26.
315Zadanie 28.
315