W tym zadaniu musisz udowodnić, że wielomian W(x) nie posiada pierwiastków wymiernych.
W(x) = x4 + x3–5x2–2x + 6
a0 = 6
a4 = 1
Liczba p–całkowity dzielnik liczby 6 tylko, jeśli p ∊ {–6,–3,–2,–1, 1, 2, 3, 6}
Liczba q–całkowity dzielnik liczby 1, tylko dla q ∊ {–1, 1}
Sprawdźmy, czy wspólne dzielniki liczb p i q, są pierwiastkami tego wielomianu:
{–6,–3,–2,–1, 1, 2, 3, 6}
W(–6) = (–6)4 + (–6)3–5∙(–6)2–2∙(–6) + 6
W(–6) = 1296–216–5∙36 + 12 + 6
W(–6) = 1296–216–180 + 12 + 6
W(–6) = 918⇒ W(–6) ≠ 0
W(6) = (6)4 + (6)3–5∙(6)2–2∙(6) + 6
W(6) = 1296 + 216–5∙36–12 + 6
W(6) = 1296 + 216–180 + 12 + 6
W(6) = 1350⇒ W(6) ≠ 0
W(–3) = (–3)4 + (–3)3–5∙(–3)2–2∙(–3) + 6
W(–3) = 81–27–5∙9 + 6 + 6
W(–3) = 81–27–45 + 6 + 6
W(–3) = 21⇒ W(–3) ≠ 0
W(3) = (3)4 + (3)3–5∙(3)2–2∙(3) + 6
W(3) = 81 + 27–5∙9–6 + 6
W(3) = 81 + 27–45–6 + 6
W(3) = 63⇒ W(–3) ≠ 0
W(–2) = (–2)4 + (–2)3–5∙(–2)2–2∙(–2) + 6
W(–2) = 16–8–5∙4 + 4 + 6
W(–2) = 16–8–20 + 4 + 6
W(–2) = –2⇒ W(–2) ≠ 0
W(2) = (2)4 + (2)3–5∙(2)2–2∙(2) + 6
W(2) = 16 + 8–5∙4–4 + 6
W(2) = 16 + 8–20–4 + 6
W(2) = 6⇒ W(–2) ≠ 0
W(–1) = (–1)4 + (–1)3–5∙(–1)2–2∙(–1) + 6
W(–1) = 1–1–5∙1 + 2 + 6
W(–1) = 1–1–5 + 2 + 6
W(–1) = 3⇒ W(–1) ≠ 0
W(1) = 14 + 13–5∙12–2∙1 + 6
W(1) = 1 + 1–5∙1–2 + 6
W(1) = 1 + 1–5–2 + 6
W(1) = 1⇒ W(1) ≠ 0
Żaden z dzielników nie jest pierwiastkiem wielomianu, więc W(x) nie ma pierwiastków wymiernych.
Skorzystaj z twierdzenia 2, o wymiernych pierwiastkach wielomianu, o współczynnikach całkowitych i udowodnij tezę.
Zadanie 1.
264Zadanie 2.
264Zadanie 3.
265Zadanie 4.
265Zadanie 5.
265Zadanie 7.
265Zadanie 10.
265Ćwiczenie 1.
266Ćwiczenie 2.
267Zadanie 1.
269Zadanie 2.
269Zadanie 3.
269Zadanie 4.
269Zadanie 5.
269Zadanie 6.
269Zadanie 7.
269Zadanie 8.
269Zadanie 9.
269Zadanie 1.
272Zadanie 2.
272Zadanie 3.
272Zadanie 4.
272Zadanie 5.
272Zadanie 6.
272Zadanie 7.
272Ćwiczenie 3.
274Ćwiczenie 4.
274Ćwiczenie 6.
276Ćwiczenie 7.
277Zadanie 1.
277Zadanie 2.
278Zadanie 3.
278Zadanie 4.
278Zadanie 5.
278Zadanie 6.
278Zadanie 7.
278Zadanie 8.
278Zadanie 9.
278Zadanie 1.
283Zadanie 3.
283Zadanie 4.
284Zadanie 5.
284Zadanie 13.
284Ćwiczenie 4.
286Zadanie 1.
290Zadanie 2.
290Zadanie 3.
290Zadanie 4.
290Zadanie 5.
290Zadanie 6.
290Ćwiczenie 4.
294Zadanie 1.
295Zadanie 2.
296Zadanie 3.
296Zadanie 4.
296Zadanie 5.
296Zadanie 6.
296Zadanie 7.
296Zadanie 8.
296Zadanie 9.
296Zadanie 10.
296Zadanie 1.
301Zadanie 2.
301Zadanie 3.
301Zadanie 6.
302Zadanie 7.
302Zadanie 9.
302Zadanie 11.
302Zadanie 12.
302Zadanie 13.
302Ćwiczenie 2.
304Ćwiczenie 3.
305Zadanie 1.
306Zadanie 2.
306Zadanie 3.
307Zadanie 4.
307Zadanie 5.
307Zadanie 6.
307Zadanie 7.
307Zadanie 8.
307Zadanie 9.
307Zadanie 10.
307Ćwiczenie 1.
308Zadanie 1.
310Zadanie 2.
310Zadanie 3.
311Zadanie 4.
311Zadanie 5.
311Zadanie 6.
311Zadanie 7.
311Zadanie 8.
311Zadanie 9.
311Zadanie 10.
311Zadanie 17.
315Zadanie 18.
315Zadanie 24.
315Zadanie 26.
315Zadanie 28.
315