W tym zadaniu musisz udowodnić, że wielomian W(x) ma trzy pierwiastki całkowite.
W(x) = 3x4–14x3 + 17x2–6x
Zauważ, że wielomian nie posiada wyrazu wolnego, więc możesz wyłączyć wspólny czynnik poza nawias–liczbę x:
W(x) = x(3x3–14x2 + 17x1–6)
st. W(x) = 4
W(x) = 0 dla x = 0
Mamy już jeden pierwiastek, należy odszukać dwa pozostałe
Przyjmij:
W(x) = x∙Q(x)
Q(x) = 3x3–14x3 + 17x2–6
a0 = –6,
dzielniki a0∊ {–6,–3,–2,–1, 1, 2, 3, 6}
Q(–6) = 3∙(–6)3–14∙(–6)2–17∙(–6)–6
Q(–6) = 3∙(–216)–14∙(36)–17∙(–6)–6
Q(–6) = 648–504 + 272–6
Q(–6) = 410⇒ W(–6) ≠ 0
Q(–3) = 3∙(–3)3–14∙(–3)2–17∙(–3)–6
Q(–3) = 3∙(–27)–14∙(9)–17∙(–3)–6
Q(–3) = –81–126 + 51–6
Q(–3) = –162⇒ W(–3) ≠ 0
Q(–2) = 3∙(–2)3–14∙(–2)2–17∙(–2)–6
Q(–2) = 3∙(–8)–14∙(4)–17∙(–2)–6
Q(–2) = –24–56 + 34–6
Q(–2) = –52⇒ W(–2) ≠ 0
Q(–1) = 3∙(–1)3–14∙(–1)2–17∙(–1)–6
Q(–1) = 3∙(–1)–14∙(1)–17∙(–1)–6
Q(–1) = –3–14 + 17–6
Q(–1) = –6⇒ W(–1) ≠ 0
Q(1) = 3∙13–14∙12–17∙1–6
Q(1) = 3∙1–14∙1 + 17∙1–6
Q(1) = 3–14 + 17–6
Q(1) = 0⇒ W(1) ≠ 0
Q(2) = 3∙23–14∙22 + 17∙2–6
Q(2) = 3∙8–14∙4 + 17∙2–6
Q(2) = 24–56 + 34–6
Q(2) = –4⇒ W(2) ≠ 0
Q(3) = 3∙33–14∙32 + 17∙3–6
Q(3) = 3∙27–14∙9 + 17∙3–6
Q(3) = 81–126 + 51–6
Q(3) = 0
Q(6) = 3∙63–14∙62–17∙6–6
Q(6) = 3∙216–14∙36–17∙6–6
Q(6) = 648–504–272–6
Q(6) = –134⇒ W(–6) ≠ 0
Q(x) ma dwa pierwiastki dla x = 1 i x = 3,
Sprawdźmy teraz, czy teza jest poprawna i wyznaczmy postać iloczynową wielomianu W(x)
Q(x) = 3x3–14x3 + 17x2–6
Q(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0
a3 = 3, a2 = –14, a1 = 17, a0 = –6
dla c = 1
| W(x) | a3 | a2 | a1 | ao |
| 1 | 3 | –14 | 17 | –6 |
| 3 | –11 | 6 | 0 | |
| Q(x) | b2 | b1 | b0 | r |
b2 = a3
b1 = a2 + c∙b2
bo = a1 + c∙b1
r = ao + c∙b0
Q1(x) = 3x2–11x + 6
Q(x) = (x–2)(3x2–11x + 6)
Q1(x) = 0⇒ 3x2–11x + 6 = 0
∆ = (–11)2–4∙3)∙(6)
∆ = 121–72
∆ = 49
√∆ = 7
W(x) ma 3 pierwiastki całkowite.
W pierwszym kroku wyciągnij x, poza nawias, aby wielomian posiadał wyraz wolny. Następnie skorzystaj z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych i wyznacz dzielniki wyrazu wolnego. Sprawdź, czy któryś z nich jest pierwiastkiem wielomianu. Następnie ze schematu Hornera ustal równanie kwadratowe, które jest składową wielomianu W(x) i sprawdź, czy równanie to ma pierwiastki całkowite i udowodnij tezę.
Zadanie 1.
264Zadanie 2.
264Zadanie 3.
265Zadanie 4.
265Zadanie 5.
265Zadanie 7.
265Zadanie 10.
265Ćwiczenie 1.
266Ćwiczenie 2.
267Zadanie 1.
269Zadanie 2.
269Zadanie 3.
269Zadanie 4.
269Zadanie 5.
269Zadanie 6.
269Zadanie 7.
269Zadanie 8.
269Zadanie 9.
269Zadanie 1.
272Zadanie 2.
272Zadanie 3.
272Zadanie 4.
272Zadanie 5.
272Zadanie 6.
272Zadanie 7.
272Ćwiczenie 3.
274Ćwiczenie 4.
274Ćwiczenie 6.
276Ćwiczenie 7.
277Zadanie 1.
277Zadanie 2.
278Zadanie 3.
278Zadanie 4.
278Zadanie 5.
278Zadanie 6.
278Zadanie 7.
278Zadanie 8.
278Zadanie 9.
278Zadanie 1.
283Zadanie 3.
283Zadanie 4.
284Zadanie 5.
284Zadanie 13.
284Ćwiczenie 4.
286Zadanie 1.
290Zadanie 2.
290Zadanie 3.
290Zadanie 4.
290Zadanie 5.
290Zadanie 6.
290Ćwiczenie 4.
294Zadanie 1.
295Zadanie 2.
296Zadanie 3.
296Zadanie 4.
296Zadanie 5.
296Zadanie 6.
296Zadanie 7.
296Zadanie 8.
296Zadanie 9.
296Zadanie 10.
296Zadanie 1.
301Zadanie 2.
301Zadanie 3.
301Zadanie 6.
302Zadanie 7.
302Zadanie 9.
302Zadanie 11.
302Zadanie 12.
302Zadanie 13.
302Ćwiczenie 2.
304Ćwiczenie 3.
305Zadanie 1.
306Zadanie 2.
306Zadanie 3.
307Zadanie 4.
307Zadanie 5.
307Zadanie 6.
307Zadanie 7.
307Zadanie 8.
307Zadanie 9.
307Zadanie 10.
307Ćwiczenie 1.
308Zadanie 1.
310Zadanie 2.
310Zadanie 3.
311Zadanie 4.
311Zadanie 5.
311Zadanie 6.
311Zadanie 7.
311Zadanie 8.
311Zadanie 9.
311Zadanie 10.
311Zadanie 17.
315Zadanie 18.
315Zadanie 24.
315Zadanie 26.
315Zadanie 28.
315