Udowodnij, że równanie kwadratowe
, które ma dwa rozwiązania i wszystkie jego współczynniki są liczbami całkowitymi, ma albo oba rozwiązania wymierne, albo ma oba rozwiązania niewymierne.
Rozpatrujemy równanie kwadratowe
, gdzie a, b i c są liczbami całkowitymi i które ma dwa rozwiązania, więc
. Zatem:
Gdy
jest liczbą wymierną, to
i
są wymierne, ponieważ liczniki ułamków
i
są liczbami wymiernymi i mianowniki też są liczbami wymiernymi, czyli są to ilorazy liczb wymiernych, więc rozwiązania są wymierne. Gdy
jest liczbą niewymierną, to
i
są niewymierne, ponieważ liczniki ułamków
i
są liczbami niewymiernymi, a mianowniki są liczbami wymiernymi, czyli są to ilorazy liczb niewymiernych i liczb wymiernych, więc rozwiązania są niewymierne.
Gdy
jest liczbą wymierną to liczniki ułamków
i
są wymierne, ponieważ suma liczby całkowitej i liczby wymiernej jest liczbą wymierną. Mianowniki ułamków
i
są wymierne, ponieważ są iloczynami liczb całkowitych. Z tego wynika, że gdy
jest liczbą wymierną to liczby
i
są ilorazami liczb wymiernych, czyli oba rozwiązania są wymierne, ponieważ iloraz liczb wymiernych jest liczbą wymierną. Gdy
jest liczbą niewymierną to liczniki ułamków
i
są niewymierne, ponieważ suma liczby niewymiernej i liczby całkowitej jest liczbą niewymierną. Z tego wynika, że gdy
jest liczbą niewymierną to liczby
i
są ilorazami liczb niewymiernych i liczb wymiernych, czyli są niewymierne, ponieważ iloraz liczby wymiernej i liczby niewymiernej jest niewymierny, zatem oba rozwiązania są niewymierne.