W tym zadaniu musisz sprawdzić, czy istnieje wielokąt, który posiada 90 przekątnych, korzystając ze wzoru podanego w ramce pod zadaniem.
Zatem:
Istnieje wielokąt, który ma 90 przekątnych i jest nim piętnastokąt.
Musisz założyć, że
, ponieważ nie istnieje wielokąt, który miałby ujemną liczbę kątów lub miałby liczbę kątów określoną ułamkiem nieskracalnym. Sprawdzamy, czy istnieje wielokąt, który ma 60 przekątnych, przyrównując liczbę 90 do wzoru na liczbę przekątnych n-kąta:
Pomnóżmy równanie obustronnie przez 2, aby ułatwić obliczenia i uprośćmy lewą stronę tego równania:
W tej postaci widać, że jest to równanie kwadratowe, więc przekształćmy je do postaci
:
Rozwiążmy równanie
za pomocą wyróżnika równania kwadratowego
, który jest określony wzorem
.
Jeżeli
, to równanie ma dwa rozwiązania:
Jeżeli
, to równanie ma jedno rozwiązanie:
Jeżeli
, to równanie nie ma rozwiązań.
Współczynniki liczbowe równania
to:
Zatem:
, więc równanie ma dwa rozwiązania:
Liczba
nie spełnia warunków równania, przez co nie jest rozwiązaniem. Liczba 15 jest rozwiązaniem równania, co oznacza, że istnieje wielokąt, który ma 90 przekątnych i jest nim piętnastokąt.
Obie liczby są niewymierne, przez co nie spełniają warunków równania, z czego wynika, że nie ma takiego wielokąta, który miałby 60 przekątnych.
Ćwiczenie A.
186Ćwiczenie C.
187Przykład 1.
187Przykład 2.
188Zadanie 1.
188Zadanie 3.
189Zadanie 4.
189Ćwiczenie A.
190Ćwiczenie B.
29Przykład 2.
192Zadanie 1.
193Zadanie 2.
193Zadanie 3.
193Zadanie 4.
193Zadanie 5.
193Zadanie 6.
193Zadanie 7.
193Zadanie 8.
193Zadanie 9.
194Zadanie 14.
194Ćwiczenie A.
196Przykład 1.
197Przykład 2.
197Zadanie 1.
198Zadanie 4.
198Zadanie 5.
199Zadanie 6.
199Zadanie 8.
199Zadanie 10.
199Zadanie 1.
200Zadanie 2.
200Zadanie 3.
200Zadanie 4.
200Zadanie 8.
200Zadanie 9.
200Zadanie 10.
200Zadanie 11.
200