Ustal prawdziwość podanych zdań w trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych jest dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej.
A. Jeden z kątów ostrych tego trójkąta jest dwa razy mniejszy od drugiego kąta ostrego.
B. Dwusieczna kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na dwa odcinki, z których jeden jest dwa razy krótszy od drugiego.
C. Stosunek promienia okręgu opisanego na tym trójkącie do promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt wynosi
.
Odp. P,F,P
Zauważ, że trójkąt prostokątny o podanych kątach jest szczególny – długość boku naprzeciwko największego kąta jest dwa razy większa od długości boku naprzeciwko najmniejszego kąta, a długość boku leżącego naprzeciwko środowego kąta jest
razy dłuższa od długości najkrótszego boku.
Następnie skorzystaj z twierdzenia o dwusiecznej:
, gdzie
to odcinki na jakie dwusieczna dzieli bok trójkąta, a
to jego pozostałe boki.
Na koniec skorzystaj ze wzoru Herona na pole trójkąta:
, gdzie
to połowa obwodu, a
to boki trójkąta, na pole trójkąta z promieniami opisanym:
oraz wpisanym:
w trójkąt i na tej podstawie wyznacz długości promieni i ich stosunek.