Matematyka. Klasa 4. Podręcznik. Zakres rozszerzony – rozwiązania i odpowiedzi

Podręcznik, Wydawnictwo: OE Pazdro

Zadanie 3. - strona 53

W zadaniu musisz określić wartości rzeczywiste parametru m, dla których przedstawione równanie ma jedno rozwiązanie.

$\text{[math]}$

Wprowadź zmienną pomocniczą:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ – warunki

Warunek I

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Czyli dla $\text{[math]}$ równanie kwadratowe $\text{[math]}$ ma jedno rozwiązanie równe:

$\text{[math]}$

Rozwiązanie to będzie dodatnie dla:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Czyli dla $\text{[math]}$ rozwiązanie równania jest dodatnie. Ostatecznie:

$\text{[math]}$

Czyli dla $\text{[math]}$ równanie ma jedno rozwiązanie.

Warunek II

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Czyli dla $\text{[math]}$ iloczyn $\text{[math]}$ . Ostatecznie:

$\text{[math]}$

Czyli dla $\text{[math]}$ równanie ma dwa rozwiązania, z których jedno jest ujemne – czyli po uwzględnieniu dziedziny, równanie ma tylko jedno rozwiązanie.

III warunek

$\text{[math]}$ dla $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Czyli dla $\text{[math]}$ suma $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Czyli dla $\text{[math]}$ iloczyn $\text{[math]}$ .

Ostatecznie:

$\text{[math]}$

Nie istnieje m, dla którego równanie ma dwa rozwiązania, z których jedno wynosi 0.

Ostateczna odpowiedź:

$\text{[math]}$

Na początku zauważ, że:

$\text{[math]}$

Wprowadź zmienną pomocniczą:

$\text{[math]}$

Zapisz równanie ze zmienną pomocniczą:

$\text{[math]}$

Aby równanie kwadratowe miało jedno rozwiązanie, muszą być spełnione następujące warunki:

$\text{[math]}$

Założenie $\text{[math]}$ warunkuje, że jedno z dwóch rozwiązań będzie ujemne, czyli nie będzie należało do dziedziny równania. Założenia $\text{[math]}$ gwarantują, że jedno z rozwiązań będzie równe 0, czyli nie będzie należeć do dziedziny równania.

Zacznij od wyznaczenia $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

Sprawdź, dla jakich wartości parametru m $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Czyli dla $\text{[math]}$ równanie kwadratowe $\text{[math]}$ ma jedno rozwiązanie równe:

$\text{[math]}$

Znajdź wartości parametru m, dla których rozwiązanie to będzie dodatnie:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Czyli dla $\text{[math]}$ rozwiązanie równania jest dodatnie. Znajdź część wspólną obu przedziałów:

$\text{[math]}$

Czyli dla $\text{[math]}$ równanie ma jedno rozwiązanie.

Rozważ kolejny przypadek, czyli przypadek, w którym $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ . Najpierw sprawdź, dla jakich wartości parametru m $\text{[math]}$ . W tym celu narysuj wykres funkcji, $\text{[math]}$ korzystając z poprzednich obliczeń miejsc zerowych:

Z wykresu odczytaj, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie:

$\text{[math]}$

Następnie sprawdź, dla jakich wartości $\text{[math]}$ . W tym celu skorzystaj ze wzorów Viete’a:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Czyli dla $\text{[math]}$ iloczyn $\text{[math]}$ . Znajdź część wspólną obu znalezionych przedziałów:

$\text{[math]}$

Czyli dla $\text{[math]}$ równanie ma dwa rozwiązania, z których jedno jest ujemne – czyli po uwzględnieniu dziedziny, równanie ma tylko jedno rozwiązanie.

Rozważ ostatni przypadek, w którym muszą być spełnione warunki: $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ dla $\text{[math]}$ .

Sprawdź, dla jakich wartości $\text{[math]}$ . W tym celu skorzystaj ze wzorów Viete’a:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Czyli dla $\text{[math]}$ suma $\text{[math]}$ .

Sprawdź, dla jakich wartości $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Czyli dla $\text{[math]}$ iloczyn $\text{[math]}$ .

Znajdź część wspólną przedziałów znalezionych podczas rozpatrywania ostatniego przypadku:

$\text{[math]}$

Czyli nie istnieje m, dla którego równanie ma dwa rozwiązania, z których jedno wynosi 0.

Aby sformułować ostateczną odpowiedź, znajdź sumę wszystkich znalezionych w rozpatrywanych przypadkach przedziałów:

$\text{[math]}$

Zadanie 5., strona 185, Prosto do matury. Matematyka. Klasa 2. Podręcznik. Zakres podstawowy i rozszerzony – rozwiązania i odpowiedzi

Ćwiczenie Ćwiczenie 5., strona 178, Matematyka wokół nas. Klasa 7. Podręcznik - rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 8., strona 182, Matematyka wokół nas. Klasa 8. Podręcznik - rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 1.11., strona 101, Prosto do matury. Klasa 4. Podręcznik. Zakres podstawowy - rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 14., strona 151, Matematyka z kluczem. Klasa 8. Zbiór zadań – rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 3.46., strona 144, Prosto do matury. Klasa 4. Podręcznik. Zakres podstawowy - rozwiązania i odpowiedzi

Ćwiczenie 1., strona 32, MATeMAtyka. Klasa 3. Podręcznik. Zakres podstawowy - rozwiązania i odpowiedzi

Ćwiczenie 6., strona 26, Matematyka. Klasa 5. Podręcznik. Część 2 – rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 5, strona 220, NOWA MATeMAtyka 1. Podręcznik. Zakres podstawowy i rozszerzony

Zadanie Prosto do matury 5., strona 74, Prosto do matury. Matematyka. Klasa 2. Zakres podstawowy. Podręcznik - rozwiązania i odpowiedzi

7

Ćwiczenie 2.

7

7

7

7

7

7

7

Ćwiczenie 3.

8

8

8

8

Ćwiczenie 4.

8

8

8

8

8

9

9

10

Ćwiczenie 8.

11

11

11

Zadanie 1.

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

Zadanie 2.

13

13

13

13

13

13

13

Zadanie 3.

14

14

14

14

14

14

14

Zadanie 4.

14

14

14

14

14

Zadanie 6.

14

14

14

Zadanie 7.

14

14

14

14

14

Zadanie 8.

14

14

14

Zadanie 9.

15

15

15

15

15

Zadanie 10.

15

15

15

15

15

15

15

15

Zadanie 14.

15

15

15

Zadanie 15.

15

15

15

18

Ćwiczenie 2.

19

19

19

19

20

23

Zadanie 1.

23

23

23

23

23

Zadanie 2.

23

23

23

24

24

Zadanie 3.

24

24

24

24

24

Zadanie 4.

24

24

24

24

24

Zadanie 5.

24

24

24

24

24

Zadanie 6.

24

24

24

24

Zadanie 7.

24

24

24

24

Zadanie 8.

24

24

24

24

24

Zadanie 9.

24

24

24

24

Ćwiczenie 1.

26

26

26

Ćwiczenie 2.

27

27

27

Ćwiczenie 3.

28

28

Ćwiczenie 4.

28

28

29

30

Zadanie 1.

31

31

31

31

31

Zadanie 2.

31

31

31

Zadanie 3.

31

31

31

31

31

Zadanie 4.

32

32

32

Zadanie 5.

32

32

32

32

Zadanie 6.

32

32

32

32

Zadanie 7.

32

32

32

Zadanie 8.

32

32

32

32

Zadanie 10.

32

32

32

32

Zadanie 11.

32

32

32

32

32

Ćwiczenie 1.

34

34

34

34

Ćwiczenie 2.

35

35

35

35

Zadanie 1.

39

39

39

39

39

39

39

Zadanie 2.

39

39

39

39

39

39

39

Zadanie 3.

39

39

39

39

39

Zadanie 4.

39

39

39

39

39

39

39

Zadanie 5.

40

40

40

40

40

40

40

Zadanie 6.

40

40

40

Zadanie 7.

40

40

40

40

40

40

40

Zadanie 8.

40

40

40

40

Zadanie 9.

40

40

40

40

40

40

40

Zadanie 10.

40

40

40

40

40

Ćwiczenie 1.

43

43

43

43

43

43

Ćwiczenie 3.

44

44

44

46

Zadanie 1.

47

47

47

47

Zadanie 2.

47

47

47

Zadanie 3.

47

47

47

47

47

47

47

Zadanie 4.

47

47

47

47

Zadanie 5.

48

48

48

48

Zadanie 6.

48

48

48

48

48

Zadanie 7.

48

48

48

Zadanie 8.

48

48

48

Zadanie 9.

48

48

48

48

48

Zadanie 10.

48

48

48

48

48

Zadanie 11.

48

48

48

49

53

Zadanie 2.

53

53

53

53

53

53

53

53

54

54

54

54

54

54

54

54

Zadanie 9.

55

55

55

Zadanie 10.

55

55

Zadanie 11.

55

55

55

55

55

Zadanie 12.

55

55

55

55

55

Zadanie 13.

55

55

55

55

55

Zadanie 14.

55

55

55

55

Zadanie 15.

55

55

55

56

56

Zadanie 18.

56

56

56

Zadanie 19.

56

56

56

56

56

Zadanie 21.

56

56

56

56

56

Zadanie 22.

56

56

56

56

56

Pełny spis treści