W zadaniu musisz określić wartości rzeczywiste parametru p, dla których przedstawione równanie ma jeden pierwiastek.
Wprowadź zmienną pomocniczą:
Warunki:
Czyli równanie ma dwa rozwiązania dla
Czyli dla
iloczyn dwóch rozwiązań
jest większy od 0.
Czyli dla
suma dwóch rozwiązań
jest większa od 0.
Czyli dla
iloczyn dwóch rozwiązań
wynosi 0.
Po uwzględnieniu warunku
otrzymujesz jedno rozwiązanie –
.
Ostatecznie:
Na początku zauważ, że:
Wprowadź zmienną pomocniczą:
Zapisz równanie ze zmienną pomocniczą:
Aby równanie kwadratowe miało jedno rozwiązanie, muszą być spełnione następujące warunki:
Założenie
warunkuje, że jedno z dwóch rozwiązań będzie ujemne, czyli nie będzie należało do dziedziny równania. Założenia
gwarantują, że jedno z rozwiązań będzie równe 0, czyli nie będzie należeć do dziedziny równania.
Zacznij od wyznaczenia
:
Czyli równanie ma dwa rozwiązania dla
. Oznacza to, że musisz znaleźć wartości parametru p, dla których jedno z dwóch rozwiązań będzie ujemne albo równe 0.
Oblicz iloczyn
. W tym celu skorzystaj ze wzorów Viete’a:
Następnie znajdź wartości rzeczywiste parametru p, dla których
:
Czyli dla
iloczyn dwóch rozwiązań
jest większy od 0 – a więc jedno z rozwiązań jest ujemne, czyli po uwzględnieniu dziedziny równanie ma tylko jedno rozwiązanie.
Oblicz, dla jakich wartości parametru p równanie ma dwa rozwiązania, z których jedno jest równe 0. Zacznij od obliczenia sumy rozwiązań
. W tym celu także skorzystaj ze wzorów Viete’a:
Następnie znajdź wartości rzeczywiste parametru p, dla których
:
Czyli dla
suma dwóch rozwiązań
jest większa od 0.
Następnie oblicz, dla jakich wartości parametru p iloczyn
jest równy 0:
Czyli dla
iloczyn dwóch rozwiązań
wynosi 0.
Po uwzględnieniu warunku
otrzymujesz jedno rozwiązanie –
.
Aby sformułować ostateczną odpowiedź, znajdź sumę wszystkich znalezionych przedziałów:
.
Ćwiczenie 2.
7Ćwiczenie 3.
8Ćwiczenie 4.
8Ćwiczenie 8.
11Zadanie 1.
13Zadanie 2.
13Zadanie 3.
14Zadanie 4.
14Zadanie 6.
14Zadanie 7.
14Zadanie 8.
14Zadanie 9.
15Zadanie 10.
15Zadanie 14.
15Zadanie 15.
15Ćwiczenie 2.
19Zadanie 1.
23Zadanie 2.
23Zadanie 3.
24Zadanie 4.
24Zadanie 5.
24Zadanie 6.
24Zadanie 7.
24Zadanie 8.
24Zadanie 9.
24Ćwiczenie 1.
26Ćwiczenie 2.
27Ćwiczenie 3.
28Ćwiczenie 4.
28Zadanie 1.
31Zadanie 2.
31Zadanie 3.
31Zadanie 4.
32Zadanie 5.
32Zadanie 6.
32Zadanie 7.
32Zadanie 8.
32Zadanie 10.
32Zadanie 11.
32Ćwiczenie 1.
34Ćwiczenie 2.
35Zadanie 1.
39Zadanie 2.
39Zadanie 3.
39Zadanie 4.
39Zadanie 5.
40Zadanie 6.
40Zadanie 7.
40Zadanie 8.
40Zadanie 9.
40Zadanie 10.
40Ćwiczenie 1.
43Ćwiczenie 3.
44Zadanie 1.
47Zadanie 2.
47Zadanie 3.
47Zadanie 4.
47Zadanie 5.
48Zadanie 6.
48Zadanie 7.
48Zadanie 8.
48Zadanie 9.
48Zadanie 10.
48Zadanie 11.
48Zadanie 2.
53Zadanie 9.
55Zadanie 10.
55Zadanie 11.
55Zadanie 12.
55Zadanie 13.
55Zadanie 14.
55Zadanie 15.
55Zadanie 18.
56Zadanie 19.
56Zadanie 21.
56Zadanie 22.
56