DANE:
SZUKANE:
WZÓR:
Wyznaczamy wysokość – sposób I:
(I zasada dynamiki)
Wyznaczamy wysokość – sposób II:
Zasada zachowania energii:
Sposób I:
Potraktuj kulę jako jednorodną bryłę, więc jej moment bezwładności względem osi obrotu (symetrii) wynosi odpowiednio
.
Najpierw dokonaj rozkładu sił, a następnie utwórz układ równań dotyczący ruchu postępowego bryły. Skorzystaj z drugiej zasady dynamiki. Zauważ, że siła nacisku
i reakcji podłoża
równoważą się, więc siła wypadkowa
jest zależna od siły zsuwającej
i tarcia
.
Skoro kula wtacza się, to obraca się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, więc w punkcie styku z podłożem jej zwrot prędkości jest skierowany w przeciwną stronę do kierunku wtaczania. Stąd tarcie jest zwrócone zgodnie z kierunkiem wtaczania (ma zawsze zwrot przeciwny do kierunku ruchu).
Ze względu na to, że tarcie powoduje ruch kuli w „górę”, a siła zsuwająca w „dół”, to wypadkowa jest różnicą wartości tych sił.
Następnie przeanalizuj ruch obrotowy krążka, korzystając ze wzorów wiążących wypadkowy moment siły
(oblicz go ze wzoru
, gdzie
– ramię siły (wektor odległość punktu przyłożenia siły od osi obrotu),
– wartość przyłożonej siły (w tym przypadku tarcie),
– kąt zawarty między wektorami
) z momentem bezwładności rury
oraz przyspieszenia kątowego
(
). Użyj także zależności
, aby wyznaczyć przyspieszenie liniowe
.
Następnie skorzystaj z zależności opisujących drogę w ruchu jednostajnie opóźnionym
, gdzie
– szybkość początkowa,
– czas ruchu,
– przyspieszenie (obliczone w podpunkcie a)). Aby wyznaczyć czas ruchu użyj wzoru na przyspieszenie
, gdzie
– zmiana szybkości (
wynosi zero, ponieważ kula się zatrzyma, osiągając wysokość maksymalną). Aby wyznaczyć wysokość
skorzystaj z funkcji trygonometrycznej.
Sposób II:
Wyznacz wysokość
, jaką osiągnie kula, korzystając z zasady zachowania energii mechanicznej. Początkowo posiadała ona energię kinetyczną ruchu postępowego
i obrotowego
. Wyrażają je odpowiednio wyrażenia
oraz
. Osiągając najwyższy punkt zamieniła się ona w energię potencjalną ciężkości
.
Skorzystaj z zależności wiążącej szybkość liniową z szybkością kątową
oraz momentu bezwładności kuli (traktując ją jako bryłę jednorodną)
.