Wyznacz najwyższą wysokość, na jaką wtoczy się po równi pochyłem walec, jeśli jego szybkość u podnóża równi jest ma wartość 2m/s. Użyj dwóch metod – praw dynamiki oraz zasady zachowania energii mechanicznej.

DANE:

$\text{[math]}$

SZUKANE:

$\text{[math]}$

WZÓR:

Wyznaczamy wysokość – sposób I:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ (I zasada dynamiki)

$\text{[math]}$

Wyznaczamy wysokość – sposób II:

$\text{[math]}$

Zasada zachowania energii:

$\text{[math]}$

Sposób I:

Potraktuj kulę jako jednorodną bryłę, więc jej moment bezwładności względem osi obrotu (symetrii) wynosi odpowiednio $\text{[math]}$ .

Najpierw dokonaj rozkładu sił, a następnie utwórz układ równań dotyczący ruchu postępowego bryły. Skorzystaj z drugiej zasady dynamiki. Zauważ, że siła nacisku $\text{[math]}$ i reakcji podłoża $\text{[math]}$ równoważą się, więc siła wypadkowa $\text{[math]}$ jest zależna od siły zsuwającej $\text{[math]}$ i tarcia $\text{[math]}$ .

Skoro kula wtacza się, to obraca się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, więc w punkcie styku z podłożem jej zwrot prędkości jest skierowany w przeciwną stronę do kierunku wtaczania. Stąd tarcie jest zwrócone zgodnie z kierunkiem wtaczania (ma zawsze zwrot przeciwny do kierunku ruchu).

Ze względu na to, że tarcie powoduje ruch kuli w „górę”, a siła zsuwająca w „dół”, to wypadkowa jest różnicą wartości tych sił.

Następnie przeanalizuj ruch obrotowy krążka, korzystając ze wzorów wiążących wypadkowy moment siły $\text{[math]}$ (oblicz go ze wzoru $\text{[math]}$ , gdzie $\text{[math]}$ – ramię siły (wektor odległość punktu przyłożenia siły od osi obrotu), $\text{[math]}$ – wartość przyłożonej siły (w tym przypadku tarcie), $\text{[math]}$ – kąt zawarty między wektorami $\text{[math]}$ ) z momentem bezwładności rury $\text{[math]}$ oraz przyspieszenia kątowego $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ ). Użyj także zależności $\text{[math]}$ , aby wyznaczyć przyspieszenie liniowe $\text{[math]}$ .

Następnie skorzystaj z zależności opisujących drogę w ruchu jednostajnie opóźnionym $\text{[math]}$ , gdzie $\text{[math]}$ – szybkość początkowa, $\text{[math]}$ – czas ruchu, $\text{[math]}$ – przyspieszenie (obliczone w podpunkcie a)). Aby wyznaczyć czas ruchu użyj wzoru na przyspieszenie $\text{[math]}$ , gdzie $\text{[math]}$ – zmiana szybkości ( $\text{[math]}$ wynosi zero, ponieważ kula się zatrzyma, osiągając wysokość maksymalną). Aby wyznaczyć wysokość $\text{[math]}$ skorzystaj z funkcji trygonometrycznej.

Sposób II:

Wyznacz wysokość $\text{[math]}$ , jaką osiągnie kula, korzystając z zasady zachowania energii mechanicznej. Początkowo posiadała ona energię kinetyczną ruchu postępowego $\text{[math]}$ i obrotowego $\text{[math]}$ . Wyrażają je odpowiednio wyrażenia $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ . Osiągając najwyższy punkt zamieniła się ona w energię potencjalną ciężkości $\text{[math]}$ .

Skorzystaj z zależności wiążącej szybkość liniową z szybkością kątową $\text{[math]}$ oraz momentu bezwładności kuli (traktując ją jako bryłę jednorodną) $\text{[math]}$ .