Mając dane proste o równaniach 5x + 12y + 2 = 0 i 3x + 4y + 2 = 0, określ równanie prostej, która pokrywa się z dwusieczną utworzoną przez przecięcie tych prostych. Opisz każdą możliwość.

Zauważ, że dwusieczna jest w takiej samej odległości od obydwu podanych prostych. Wyznacz równanie prostych równoległych do tych prostych i oblicz ich punkt przecięcia, gdyż będzie znajdować się on na dwusiecznej.

Wyznacz współrzędne punktu S, który będzie punktem przecięcia podanych prostych:

$\text{[math]}$

Podstaw x pod dowolne z równań:

$\text{[math]}$

Wyznacz równanie prostej równoległej do 3x + 4y + 2 = 0 oddalonej o 1. Wykorzystaj do tego wzór na odległość pomiędzy prostymi równoległymi:

$\text{[math]}$

Wybierz tylko jedno z równań.

Wybrane równanie to $\text{[math]}$

Wyznacz równanie prostej równoległej do 5x + 12y + 2 = 0 oddalonej o 1. Wykorzystaj do tego wzór na odległość pomiędzy prostymi równoległymi:

$\text{[math]}$

Obydwie odpowiedzi są poprawne. Zostaną one użyte do rozpatrzenia dwóch przypadków.

I przypadek, równanie prostej równoległej do 5x + 12y – 11 = 0 to 5x + 12y - 11 = 0.

Oblicz współrzędne punktu A, który będzie punktem przecięcia prostej 5x + 12y – 11 = 0 oraz 3x + 4y + 7 = 0:

$\text{[math]}$

Podstaw x pod dowolne z równań:

$\text{[math]}$

Wykorzystaj wzór na współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty S i A:

$\text{[math]}$

Wyznacz b, a następnie równanie prostej przechodzącej przez punkty S i A:

$\text{[math]}$

Przekształć to równanie na postać ogólną:

$\text{[math]}$

II przypadek, równanie prostej równoległej do 5x + 12y – 11 = 0 to 5x + 12y + 15 = 0.

Oblicz współrzędne punktu B, który będzie punktem przecięcia prostej 5x + 12y + 15 = 0 oraz 3x + 4y + 7 = 0:

$\text{[math]}$

Podstaw x pod dowolne z równań:

$\text{[math]}$

Wykorzystaj wzór na współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty S i B:

$\text{[math]}$

Wyznacz b, a następnie równanie prostej przechodzącej przez punkty S i B:

$\text{[math]}$

Przekształć to równanie na postać ogólną:

$\text{[math]}$

Odpowiedź: Równania prostych zawierające dwusieczne to: 16x + 28y + 9 = 0 oraz 7x – 4y + 8 = 0.

Zauważ, że jeśli stworzysz równoległe proste do podanych prostych, oddalone o taki sam dystans to przetną się one w punkcie należącym do dwusiecznej. Wynika to z tego, że odległość podanych prostych od dwusiecznej jest taka sama. Mając punkt należący do dwusiecznej, będziesz w stanie obliczyć jej równanie. Podczas obliczania równania prostej równoległej od jednej z prostych, wyznaczysz dwa równania takiej prostej, będą to Twoje dwa przypadki do rozpatrzenia.

Na początku oblicz współrzędne punktu przecięcia podanych prostych i nazwij go S. Następnie oblicz równania prostych równoległych do prostej 3x + 4y + 2 = 0, wykorzystując wzór na odległość między prostymi równoległymi o równaniach $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ . Wybierz tylko jedno równanie, na jakim będziesz wykonywać działania. Potem oblicz równania prostych równoległych do prostej 5x + 12y + 2 = 0, wykorzystaj poprzednio przytoczony wzór. W tym momencie rozdziel zadanie na dwa przypadki takie, jakie są obliczone równania prostych równoległych.

W obydwu przypadkach obliczasz współrzędne punktu przecięcia wybranej prostej, równoległej do prostej 3x + 4y + 2 = 0, oraz rozpatrywanej w danym przypadku prostej, równoległej do 5x + 12y + 2 = 0. Po obliczeniu współrzędnych punktu wykorzystujesz go oraz punkt S do obliczenia współczynnika kierunkowego prostej, zawierającej dwusieczną poszukiwanego kąta. Skorzystaj ze wzoru na współczynnik kierunkowy $\text{[math]}$ , gdzie $\text{[math]}$ to punkty leżące na prostej w postaci kierunkowej $\text{[math]}$ . Następnie wyznacz równanie tej prostej i przekształć ją do postaci ogólnej $\text{[math]}$