Wykaż, że funkcja
jest rosnąca dla
. Skorzystaj z definicji funkcji rosnącej.
Założenia:
Teza:
Funkcja
jest rosnąca w przedziale
.
Dowód:
Niech
oraz
Jeżeli funkcja jest rosnąca w tym przedziale, to z definicji funkcji rosnącej prawdziwa jest zależność:
Dokonajmy odpowiednich przekształceń tej nierówności:
Skoro
, to nawias
ma wartość dodatnią.
Skoro
, to nawias
ma wartość ujemną.
Iloczyn liczby dodatniej i ujemnej jest ujemny.
Zatem podana nierówność jest prawdziwa dla jakichkolwiek a i b spełniających wymagania
oraz
.
Wszystkie przekształcenia nierówności są równoważne, zatem prawdziwość:
dowodzi prawdziwości:
Czyli funkcja jest rosnąca na przedziale
.
Co należało udowodnić.
Według definicji funkcji rosnącej, funkcja jest rosnąca, jeżeli dla każdego
i
, takich, że
, prawdziwa jest zależność
. Skorzystaj z tej zależności, aby skonstruować nierówność
. Następnie przekształć tą nierówność i podstaw argumenty a i b do wzoru funkcji. Przekształcając dalej podaną nierówność, zauważ, że jest ona zawsze prawdziwa. Prawdziwość końcowej postaci nierówności dowodzi prawdziwości początkowej, ponieważ wszystkie przejścia były równoważne.
Zadanie 1.4
407Zadanie 1.5
407Zadanie 1.6
407Zadanie 1.7
407Zadanie 1.8
408Zadanie 1.10
408Zadanie 1.11
408Zadanie 1.16
409Zadanie 2.4
414Zadanie 2.5
414Zadanie 2.6
414Zadanie 2.7
415Zadanie 2.8
415Zadanie 2.9
415Zadanie 2.10
415Zadanie 2.11
415Zadanie 2.12
415Zadanie 2.13
415Zadanie 2.14
416Zadanie 2.18
416Zadanie 2.19
416Zadanie 2.20
416Zadanie 2.21
416Zadanie 2.22
417Zadanie 2.23
417Zadanie 3.8
423Zadanie 3.9
423Zadanie 3.10
423Zadanie 3.11
423Zadanie 3.12
423Zadanie 3.13
424Zadanie 3.14
424Zadanie 3.15
424Zadanie 3.16
424Zadanie 3.20
424Zadanie 3.23
425Zadanie 3.24
425Zadanie 4.22
430Zadanie 4.23
430Zadanie 4.24
430Zadanie 4.27
431Zadanie 4.30
431Zadanie 4.32
431Zadanie 4.35
431Zadanie 4.41
432Zadanie 4.42
432