Wyznacz długość $x$ trzeciego boku trójkąta oraz promień $r$ okręgu wpisanego w ten trójkąt, jeśli dwa boki trójkąta mają długości 4 cm i 5 cm. Jego pole jest równe 8 cm2.

$\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \sin α = 8$ $\sin α = \frac{4}{5}$ $\cos^{2} α = 1 - {(\frac{4}{5})}^{2} = \frac{9}{25}$ $\cos α = \frac{3}{5} \lor \cos α = \frac{- 3}{5}$

1 przypadek:

$x^{2} = 4^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos α = 16 + 25 - 40 \cdot \frac{3}{5} = 41 - 24 = 17$ $x = \sqrt{17} cm$ $p = \frac{4 + 5 + \sqrt{17}}{2} = \frac{9 + \sqrt{17}}{2}$ $P = \sqrt{\frac{9 + \sqrt{17}}{2} (\frac{9 + \sqrt{17}}{2} - 4) (\frac{9 + \sqrt{17}}{2} - 5) (\frac{9 + \sqrt{17}}{2} - \sqrt{17})} = \sqrt{\frac{9 + \sqrt{17}}{2} \cdot \frac{\sqrt{17} + 1}{2} \cdot \frac{\sqrt{17} - 1}{2} \cdot \frac{9 - \sqrt{17}}{2}} = \sqrt{16 \cdot 4} = 8$ $\frac{9 + \sqrt{17}}{2} r = 8$ $r = \frac{16}{9 + \sqrt{17}} \cdot \frac{9 - \sqrt{17}}{9 - \sqrt{17}} = \frac{144 - 16 \sqrt{17}}{81 - 17} = \frac{9 - \sqrt{17}}{4}$

2 przypadek:

$x^{2} = 4^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos α = 16 + 25 + 40 \cdot \frac{3}{5} = 41 + 24 = 65$ $x = \sqrt{65} cm$ $p = \frac{4 + 5 + \sqrt{65}}{2} = \frac{9 + \sqrt{65}}{2}$ $P = \sqrt{\frac{9 + \sqrt{65}}{2} (\frac{9 + \sqrt{65}}{2} - 4) (\frac{9 + \sqrt{65}}{2} - 5) (\frac{9 + \sqrt{65}}{2} - \sqrt{65})} = \sqrt{\frac{9 + \sqrt{65}}{2} \cdot \frac{\sqrt{65} + 1}{2} \cdot \frac{\sqrt{65} - 1}{2} \cdot \frac{9 - \sqrt{65}}{2}} = \sqrt{4 \cdot 16} = 8$ $\frac{9 + \sqrt{65}}{2} r = 8$ $r = \frac{16}{9 + \sqrt{65}} \cdot \frac{9 - \sqrt{65}}{9 - \sqrt{65}} = \frac{14 4 - 16 \sqrt{65}}{81 - 65} = 9 - \sqrt{65}$

Skorzystaj ze wzoru na pole trójkąta z sinusem, aby wyznaczyć sinusa kąta leżącego pomiędzy ramionami, a następnie z jedynki trygonometrycznej wyznacz wartość cosinusa tego kąta.

Następnie skorzystaj z twierdzenia cosinusów: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos α$ , gdzie $a, b, c$ to boki trójkąta, a $α$ to kąt leżacy naprzeciwko boku $a$ i na tej podstawie oblicz długość podstawy trójkąta, skorzystaj ze wzoru Herona na pole trójkąta: $P = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ , gdzie $p$ to połowa obwodu, a $a, b, c$ to boki trójkąta oraz ze wzoru na pole trójkąta z promieniem wpisanym: $P = pr$ w trójkąt i wyznacz jego długość.