Oblicz promień R okręgu opisanego na tym trójkącie, jeśli dwa boki trójkąta o polu P mają długości $a$ i $b$ .

$c$ – trzeci bok trójkąta $p = \frac{a + b + c}{2}$ $P = \sqrt{\frac{a + b + c}{2} (\frac{a + b + c}{2} - a) (\frac{a + b + c}{2} - b) (\frac{a + b + c}{2} - c)}$ $P = \sqrt{\frac{a + b + c}{2} \cdot \frac{- a + b + c}{2} \cdot \frac{a - b + c}{2} \cdot \frac{a + b - c}{2}}$ $16 P^{2} = [(a + b) + c] [(a + b) - c] [c - (a - b)] [c + (a - b)]$ $16 P^{2} = [{(a + b)}^{2} - c^{2}] [c^{2} - {(a - b)}^{2}]$ $16 P^{2} = {(a + b)}^{2} c^{2} - {(a + b)}^{2} {(a - b)}^{2} - c^{4} + {(a - b)}^{2} c^{2}$ $16 P^{2} = - c^{4} + [{(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2}] c^{2} - {(a + b)}^{2} {(a - b)}^{2}$ $16 P^{2} = - c^{4} + (2 a^{2} + 2 b^{2}) c^{2} - {(a^{2} - b^{2})}^{2}$ $c^{2} = t, t > 0$ $- t^{2} + (2 a^{2} + 2 b^{2}) t - {(a^{2} - b^{2})}^{2} - 16 P^{2} = 0$ $∆ = {(2 a^{2} + 2 b^{2})}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- {(a^{2} - b^{2})}^{2} - 16 P^{2}) = 4 a^{4} + 8 a^{2} b^{2} + 4 b^{4} - 4 a^{4} + 8 a^{2} b^{2} - 4 b^{4} - 64 P^{2} = 16 a^{2} b^{2} - 64 P^{2}$ $\sqrt{∆} = 4 \sqrt{a^{2} b^{2} - 4 P^{2}}$ $t_{1} = \frac{- 2 a^{2} - 2 b^{2} - 4 \sqrt{a^{2} b^{2} - 4 P^{2}}}{- 2} = a^{2} + b^{2} + 2 \sqrt{a^{2} b^{2} - 4 P^{2}}$ $t_{2} = \frac{- 2 a^{2} - 2 b^{2} + 4 \sqrt{a^{2} b^{2} - 4 P^{2}}}{- 2} = a^{2} + b^{2} - 2 \sqrt{a^{2} b^{2} - 4 P^{2}}$ $c_{1} = \sqrt{a^{2} + b^{2} + 2 \sqrt{a^{2} b^{2} - 4 P^{2}}}$ $c_{2} = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 \sqrt{a^{2} b^{2} - 4 P^{2}}}$ $\frac{ab \sqrt{a^{2} + b^{2} + 2 \sqrt{a^{2} b^{2} - 4 P^{2}}}}{4 R_{1}} = P$ $R_{1} = \frac{ab \sqrt{a^{2} + b^{2} + 2 \sqrt{a^{2} b^{2} - 4 P^{2}}}}{4 P}$ $\frac{ab \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 \sqrt{a^{2} b^{2} - 4 P^{2}}}}{4 R_{2}} = P$ $R_{2} = \frac{a b \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 \sqrt{a^{2} b^{2} - 4 P^{2}}}}{4 P}$

Skorzystaj ze wzoru Herona na pole trójkąta: $P = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ , gdzie $p$ to połowa obwodu, a $a, b, c$ to boki trójkąta i z powstałego równania wyznacz długość boku $c$ . Następnie skorzystaj ze wzory na pole trójkąta z promieniami opisanym: $P = \frac{abc}{4 R}$ i wyznacz jego długość dla każdej z długości boku $c$ .