Wyznacz stosunek pola koła opisanego na trójkącie do koła wpisanego w ten trójkąt, jeśli w trójkącie prostokątnym dwusieczna kąta ostrego dzieli bok przeciwległy w stosunku 2:3.

$\frac{| CD |}{| BD |} = \frac{2 x}{3 x}$ $| CD | = \frac{2}{3} \lor BD \lor$ $b = | CD | + | BD | = \frac{5}{3} \lor BD \lor$ $\frac{a}{c} = \frac{2 x}{3 x}$ $a = \frac{2}{3} c = \frac{2}{3} \lor AC \lor$ $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ${(\frac{2}{3} | AC |)}^{2} + {(\frac{5}{3} | BD |)}^{2} = {| AC |}^{2}$ $\frac{25}{9} {| BD |}^{2} = \frac{5}{9} {| AC |}^{2}$ $| AC | = \sqrt{5} \lor BD \lor$ $| AB | = \frac{2 \sqrt{5}}{3} \lor BD \lor$ $p = \frac{5}{3} | BD | + \sqrt{5} | BD | + \frac{2 \sqrt{5}}{3} \lor BD \lor \frac{}{2} = 5 \sqrt{5} | BD | + 5 \lor BD \lor \frac{}{6}$ $P = \sqrt{5 \sqrt{5} | BD | + 5 \lor BD \lor \frac{}{6}}$ $\frac{5}{3} | BD | \cdot \sqrt{5} | BD | \cdot \frac{2 \sqrt{5}}{3} \lor B D \lor \frac{}{4 R} = \frac{5 \sqrt{5} {| BD |}^{2}}{9}$ $\frac{25}{9} | BD | = \frac{10 \sqrt{5}}{9} \lor BD \lor$ $R = \frac{\sqrt{5} | BD |}{2}$ $P_{R} = π \cdot \frac{5}{4} {| BD |}^{2}$ $5 \sqrt{5} | BD | + 5 \lor BD \lor \frac{}{6} r = \frac{5 \sqrt{5} {| BD |}^{2}}{9}$ $r = 2 \sqrt{5} \lor BD \lor \frac{}{3 (\sqrt{5} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} - 1} = \frac{2 (5 - \sqrt{5}) | BD |}{12} = \frac{5 - \sqrt{5}}{6} \lor BD \lor$ $P_{r} = π \cdot \frac{30 - 10 \sqrt{5}}{36} {| BD |}^{2}$ $\frac{P_{R}}{P_{r}} = \frac{π \cdot \frac{5}{4} {| BD |}^{2}}{π \cdot \frac{30 - 10 \sqrt{5}}{36} {| BD |}^{2}} = \frac{9}{6 - 2 \sqrt{5}} \cdot \frac{6 + 2 \sqrt{5}}{6 + 2 \sqrt{5}} = \frac{54 + 18 \sqrt{5}}{36 - 20} = \frac{27 + 9 \sqrt{5}}{8}$

Skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa, aby obliczyć długość przeciwprostokątnej. Następnie skorzystaj z twierdzenia o dwusiecznej: $\frac{x}{y} = \frac{a}{b}$ , gdzie $x, y$ to odcinki na jakie dwusieczna dzieli bok trójkąta, a $a, b$ to jego pozostałe boki i na tej podstawie wyznacz długości przyprostokątnych. Następnie skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa i wyznacz długość boków AC i AB w zależności od długości boku BD.Ze wzoru Herona na pole trójkąta: $P = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ , gdzie $p$ to połowa obwodu, a $a, b, c$ to boki trójkąta. Następnie skorzystaj ze wzorów na pole trójkąta z promieniami opisanym: $P = \frac{abc}{4 R}$ oraz wpisanym: $P = pr$ w trójkąt, wyznacz ich długości, a następnie stosunek pola koła opisanego do pola koła wpisanego.