W tym zadaniu musisz wykazać, że stosunek pól kół jest równy 3–2√2.
Trójkąt prostokątny równoramienny:
a–długość boku przyprostokątnych trójkąta
a√2–długość przeciwprostokątnej trójkąta
R–promień okręgu opisanego
r–promień okręgu wpisanego
PR–pole koła opisanego
Pr–pole koła wpisanego
Rysunek pomocniczy:
2R = a√2 /2
PABC = 0,5∙|AC|∙|BC|
PABC = 0,5∙a∙a
PABC = 0,5a2
PABC = PBCQ + PABQ + PCAQ
0,5a2 = 0,5a∙r + 0,5a∙r + 0,5a√2∙r |∙2
a2 = a∙r + a∙r + a√2∙r / a
a = r + r + r√2
a = r(1 + 1 + √2)
a = r(2 + √2) / (2 + √2)
Na początku narysuj trójkąt z treści zadania wraz z okręgami o promieniach R, r i opisz odpowiednio dane. Wyznacz najpierw promień okręgu opisanego, a następnie oblicz pole tego koła. W kolejnym kroku, zauważ, że promień koła opisanego dzieli trójkąt na trzy mniejsze trójkąty, a promień okręgu wpisanego, jest wysokością każdego z tych. Zauważ, że suma tych 3 trójkątów to pole trójkąta z treści zadania–stąd wyznacz promień r, a następnie pole koła r. Na koniec podziel pole mniejsze przez większe aby udowodnić tezę z treści zadania.
Ćwiczenie 1.
219Ćwiczenie 2.
221Zadanie 1.
222Zadanie 2.
222Zadanie 3.
222Ćwiczenie 1.
225Zadanie 1.
226Zadanie 2.
226Zadanie 3.
226Ćwiczenie 1.
228Zadanie 1.
232Zadanie 5.
232Zadanie 6.
232Zadanie 7.
232Zadanie 1.
236Zadanie 2.
236Ćwiczenie 6.
240Zadanie 1.
240Zadanie 3.
241Zadanie 4.
241Zadanie 5.
241Zadanie 6.
241Zadanie 10.
241Zadanie 11.
241Zadanie 12.
241Zadanie 13.
241Ćwiczenie 2.
243Zadanie 1.
245Zadanie 2.
246Zadanie 3.
246Zadanie 4.
246Zadanie 5.
246Zadanie 6.
246Zadanie 7.
246Zadanie 8.
246Zadanie 3.
249Zadanie 7.
249Ćwiczenie 2.
251Zadanie 5.
253Zadanie 6.
253Zadanie 16.
254Zadanie 17.
254Zadanie 11.
260Zadanie 13.
260Zadanie 14.
260Zadanie 18.
260Zadanie 19.
260Zadanie 20.
260Zadanie 21.
260Zadanie 22.
261Zadanie 24.
261Zadanie 30.
261