Wiedząc, że kąty wewnętrzne sześciokąta wypukłego
mają miary kolejno:
, określ, czy istnieje para boków równoległych.
Zauważmy, że suma kolejnych kątów wewnętrznych między dwoma bokami musi być podzielna przez
, żeby boki były równoległe.
Sprawdzamy, czy sumy kolejnych trójek kątów są podzielne przez
:
Istnieje suma kolejnych trójek podzielna przez
, więc istnieje para boków równoległych.
Dowód, że suma kolejnych kątów wewnętrznych między dwoma bokami musi być podzielna przez
, żeby boki były równoległe:
Dane są proste
oraz przecinająca je prosta
. Jeżeli kąty jednostronne wewnętrzne sumują się do
, to proste
i
są równoległe. Dodajemy kąt półpełny na prostej
między prostymi
i
. Kąt ten nie ma wpływu na konstrukcję, a suma kątów jest teraz równa
. Argument ten możemy kontynuować nieskończoną ilość razy, dla dowolnej wielokrotności
.
Wystarczy, że sprawdzimy trzy sumy po trzy kąty, ponieważ kąty wewnętrzne dane w zadaniu
, który jest miarą kąta wewnętrznego sześciokąta foremnego. To znaczy, że tylko przeciwległe boki mają jakiekolwiek szanse być równoległe.
Nie sprawdzamy sześciu trójek, ponieważ jeżeli
, to i
.