Dany jest trójkąt
oraz punkt
. Punkt
leży na przedłużeniu
i
. Dodatkowo,
. Wskaż wyrażenie prawdziwe.
A.
B.
C.
D.
Udowadniamy, że
.
Prowadzimy wysokość z wierzchołka
na podstawę
. Jest ona równocześnie wysokością trójkąta
.
Otrzymujemy w ten sposób dwa trójkąty prostokątne:
i
.
Wykorzystujemy twierdzenie Pitagorasa, by zapisać równania:
oraz
Z konstrukcji trójkąta wiemy, że
, więc:
Używamy wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy:
Podstawiamy pierwsze ułożone równanie:
Wyrażenie po prawej jest dodatnie, więc iloczyn wyrażeń po lewej też musi być dodatni. Oba wyrażenia nie mogą być ujemne, bo suma długości
jest zawsze dodatnia. To znaczy, że:
(co kończy dowód)
Wiemy, że
, czyli:
Odp. A.
Udowadniamy, że w trójkącie zachodzi nierówność
, a następnie wykorzystujemy fakt, że trójkąt
jest równoramienny.