Prosto do matury 4. Zakres podstawowy i rozszerzony. Podręcznik - rozwiązania i odpowiedzi

Podręcznik, Wydawnictwo: Nowa Era

Zadanie 4. - strona 103

Udowodnij, że objętość bryły otrzymanej w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół przeciwprostokątnej jest największa, jeśli ten trójkąt jest równoramienny.

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$ $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}}$ $\frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot c \cdot r$ $r = \frac{ab}{c} = \frac{ab}{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}$ $D : a, b > 0$ $V = \frac{1}{3} π r^{2} (c - x) + \frac{1}{3} π r^{2} x = \frac{1}{3} π r^{2} (c - x + x) = \frac{1}{3} π r^{2} c$ $V (a) = \frac{1}{3} π \cdot \frac{a^{2} b^{2}}{a^{2} - b^{2}} \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \frac{1}{3} π \cdot \frac{a^{2} b^{2}}{\sqrt{a^{2} - b^{2}}} = \frac{1}{3} π \cdot \sqrt{\frac{a^{4} b^{4}}{a^{2} - b^{2}}}$

Korzystając z funkcji pomocniczej:

$v (a) = \frac{a^{4} b^{4}}{a^{2} - b^{2}}$ $v^{'} (a) = \frac{4 a^{3} b^{4} (a^{2} - b^{2}) - 2 a \cdot a^{4} b^{4}}{{(a^{2} - b^{2})}^{2}} = \frac{2 a^{5} b^{4} - 4 a^{3} b^{6}}{{(a^{2} - b^{2})}^{2}}$ $\frac{2 a^{5} b^{4} - 4 a^{3} b^{6}}{{(a^{2} - b^{2})}^{2}} = 0$ $2 a^{5} b^{4} - 4 a^{3} b^{6} = 0$ $2 a^{3} b^{4} (a^{2} - b^{2}) = 0$ $2 a^{3} b^{4} (a - b) (a + b) = 0$ $a - b = 0$ $a = b$ Największa objętość powstałej bryły, jest gdy $a = b$ , więc trójkąt prostokątny jest również równoramienny.

To kończy dowód.

Zadanie 9., strona 114, Matematyka. Klasa 2. Zakres podstawowy. Zbiór zadań - rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 4., strona 99, Matematyka. Klasa 5. Zeszyt ćwiczeń - rozwiązania i odpowiedzi.

Zadanie 4.1., strona 339, Prosto do matury. Matematyka. Klasa 2. Podręcznik. Zakres podstawowy i rozszerzony – rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 6., strona 89, Matematyka. Klasa 8. Podręcznik – rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 6., strona 14, Matematyka. Klasa 5. Podręcznik. Część 2 – rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 9, strona 143, MATeMAtyka. Klasa 3. Zbiór zadań. Zakres podstawowy i rozszerzony – rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 3, strona 30, Matematyka wokół nas. Klasa 4. Podręcznik - rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 11, strona 171, Matematyka wokół nas. Klasa 6. Podręcznik – rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 2, strona 145, Matematyka. Klasa 6. Zeszyt ćwiczeń – rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 6., strona 62, Matematyka wokół nas. Klasa 6. Zbiór zadań - rozwiązania i odpowiedzi

17

17

17

18

18

18

18

18

18

Zadanie 1.10.

19

19

19

19

Zadanie 1.12.

19

19

19

19

19

19

Zadanie 1.13.

19

19

19

19

19

19

19

19

19

20

20

20

20

Zadanie 2.

20

20

20

20

20

20

20

20

20

27

27

27

Zadanie 2.4.

27

27

27

27

27

27

27

27

Zadanie 2.8.

27

27

27

27

27

28

28

Zadanie 2.11.

28

28

28

28

28

28

Zadanie 2.12.

28

28

28

28

Zadanie 2.14.

28

28

28

28

28

Zadanie 2.15.

29

29

29

29

29

29

Zadanie 2.16.

29

29

29

29

29

Zadanie 2.17.

29

29

29

29

29

Zadanie 2.18.

29

29

29

29

30

30

30

30

30

30

30

30

34

34

34

Zadanie 3.4.

34

34

34

34

34

Zadanie 3.5.

34

34

34

34

Zadanie 3.6.

35

35

35

35

35

35

35

35

35

36

36

Zadanie 2.

36

36

36

36

36

36

46

46

46

Zadanie 4.4.

46

46

46

46

46

46

46

Zadanie 4.6.

46

46

46

46

46

46

Zadanie 4.9.

46

46

46

Zadanie 4.10.

46

46

46

47

47

47

Zadanie 4.14.

47

47

47

47

47

Zadanie 4.17.

47

47

47

47

47

47

Zadanie 4.20.

47

47

47

47

48

48

48

48

48

48

48

48

60

61

61

Zadanie 5.4.

61

61

61

61

Zadanie 5.5.

61

61

61

61

Zadanie 5.6.

61

61

61

61

61

61

Zadanie 5.9.

61

61

61

61

61

61

61

Zadanie 5.13.

61

61

61

62

62

62

62

62

62

62

Zadanie 5.21.

62

62

62

62

62

63

63

63

63

63

Zadanie 5.29.

63

63

63

64

64

64

64

64

73

73

73

73

Zadanie 6.5.

73

73

73

73

Zadanie 6.6.

73

73

73

73

73

73

Zadanie 6.7.

73

73

73

73

74

Zadanie 6.10.

74

74

74

74

74

74

Zadanie 6.14.

74

74

74

Zadanie 6.15.

74

74

74

74

74

74

75

75

75

75

75

75

75

75

75

75

91

92

92

92

92

92

92

92

92

92

92

93

Zadanie 7.13.

93

93

93

93

93

93

93

93

93

93

93

94

94

94

94

94

94

94

94

94

94

95

95

95

95

95

95

95

95

95

95

96

96

96

96

96

96

96

96

96

96

96

101

102

102

102

102

102

102

102

102

102

102

102

103

103

103

103

103

103

103

103

104

104

104

104

104

104

104

105

105

105

105

105

105

105

105

105

105

106

106

106

106

106

106

106

106

106

107

107

107

107

108

108

108

108

108

108

108

Zadanie 38.

108

108

108

108

108

109

109

109

109

109

109

109

109

109

109

110

110

110

110

110

110

Zadanie 56.

110

110

110

110

110

111

111

111

111

111

111

111

111

111

111

112

112

112

112

112

112

112

112

Pełny spis treści