Prosto do matury 4. Zakres podstawowy i rozszerzony. Podręcznik - rozwiązania i odpowiedzi

Podręcznik, Wydawnictwo: Nowa Era

Zadanie 75. - strona 112

Oblicz największą objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o polu powierzchni całkowitej S.

$a$ – krawędź podstawy $h$ - wysokość ściany bocznej $H$ – wysokość ostroslupa $a$ – krawędź podstawy $h$ - wysokość graniastosłupa $a^{2} + 4 \cdot \frac{1}{2} a h = S$ $a^{2} + 2 a h = S$ $h = \frac{a^{2} - S}{2 a}, a \neq 0$ $h > 0$ $\frac{a^{2} - S}{2 a} > 0$ $a \in (0; \sqrt{S})$ ${(\frac{1}{2} a)}^{2} + H^{2} = h^{2}$ $\frac{a^{2}}{4} + H^{2} = \frac{a^{4} - 2 a^{2} S + S^{2}}{4 a^{2}}$ $H^{2} = \frac{S^{2} - 2 a^{2} S}{4 a^{2}}$ $H = \sqrt{\frac{S^{2} - 2 a^{2} S}{4 a^{2}}}$ $V (a) = \frac{1}{3} a^{2} H = \frac{1}{3} a^{2} \sqrt{\frac{S^{2} - 2 {Sa}^{2}}{4 a^{2}}} = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{S^{2} a^{2} - 2 S a^{4}}{4}}$ $v (a) = \frac{S^{2} a^{2} - 2 S a^{4}}{4}$ $v^{'} (a) = \frac{1}{4} (2 S^{2} a - 8 S a^{3})$ $2 S^{2} a - 8 S a^{3} = 0$ $2 Sa (S - 4 a^{2}) = 0$ $2 Sa = 0 \lor S - 4 a^{2} = 0$ $a = 0 \lor a = \frac{\sqrt{S}}{2} \lor a = \frac{- \sqrt{S}}{2}$ Największa wartość dla $a = \frac{\sqrt{S}}{2}$ $H = \sqrt{\frac{S^{2} - 2 S \cdot \frac{S}{4}}{S}} = \frac{\sqrt{2 S}}{2}$ $V_{MAX} = \frac{1}{3} \cdot \frac{S}{4} \cdot \frac{\sqrt{2 S}}{2} = \frac{\sqrt{{2 S}^{3}}}{24}$

Zależność podaną w treści zadania zapisz za pomocą równania i wyznacz z niego długość wysokości ściany bocznej w zależności od długości krawędzi podstawy. Następnie z twierdzenia Pitagorasa oblicz wysokość ostrosłupa i pod wzór na jego objętość podstaw uzyskane wartości i zapisz jako funkcję z niewiadomą $a$ , wyznacz jej pochodną, a następnie miejsce zerowe, aby obliczyć maksymalną długość krawędzi podstawy.Na koniec dla wyznaczonej wartości $a$ oblicz długość wysokości i objętość bryły.

Zadanie 12, strona 129, Matematyka z kluczem. Klasa 6. Zbiór zadań - rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 9, strona 93, Prosto do matury. Matematyka. Klasa 1. Zakres podstawowy. Podręcznik - rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 8.13, strona 394, Matematyka. Prosto do matury. Klasa 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Podręcznik - rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie Test B. 10., strona 26, Matematyka. Klasa 8. Zbiór zadań - rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 1.1, strona 231, Matematyka z kluczem. Klasa 8. Podręcznik - rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 14., strona 347, Matematyka. Klasa 4. Podręcznik. Zakres rozszerzony – rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 12, strona 35, Matematyka wokół nas. Klasa 4. Podręcznik - rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie Sprawdź czy umiesz 3, strona 215, Matematyka z plusem. Klasa 8. Podręcznik – rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 6 zamknięte, strona 99, Matematyka wokół nas. Klasa 4. Zbiór zadań - rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie S4., strona 87, Matematyka z plusem. Klasa 3. Podręcznik. Zakres rozszerzony – rozwiązania i odpowiedzi

17

17

17

18

18

18

18

18

18

Zadanie 1.10.

19

19

19

19

Zadanie 1.12.

19

19

19

19

19

19

Zadanie 1.13.

19

19

19

19

19

19

19

19

19

20

20

20

20

Zadanie 2.

20

20

20

20

20

20

20

20

20

27

27

27

Zadanie 2.4.

27

27

27

27

27

27

27

27

Zadanie 2.8.

27

27

27

27

27

28

28

Zadanie 2.11.

28

28

28

28

28

28

Zadanie 2.12.

28

28

28

28

Zadanie 2.14.

28

28

28

28

28

Zadanie 2.15.

29

29

29

29

29

29

Zadanie 2.16.

29

29

29

29

29

Zadanie 2.17.

29

29

29

29

29

Zadanie 2.18.

29

29

29

29

30

30

30

30

30

30

30

30

34

34

34

Zadanie 3.4.

34

34

34

34

34

Zadanie 3.5.

34

34

34

34

Zadanie 3.6.

35

35

35

35

35

35

35

35

35

36

36

Zadanie 2.

36

36

36

36

36

36

46

46

46

Zadanie 4.4.

46

46

46

46

46

46

46

Zadanie 4.6.

46

46

46

46

46

46

Zadanie 4.9.

46

46

46

Zadanie 4.10.

46

46

46

47

47

47

Zadanie 4.14.

47

47

47

47

47

Zadanie 4.17.

47

47

47

47

47

47

Zadanie 4.20.

47

47

47

47

48

48

48

48

48

48

48

48

60

61

61

Zadanie 5.4.

61

61

61

61

Zadanie 5.5.

61

61

61

61

Zadanie 5.6.

61

61

61

61

61

61

Zadanie 5.9.

61

61

61

61

61

61

61

Zadanie 5.13.

61

61

61

62

62

62

62

62

62

62

Zadanie 5.21.

62

62

62

62

62

63

63

63

63

63

Zadanie 5.29.

63

63

63

64

64

64

64

64

73

73

73

73

Zadanie 6.5.

73

73

73

73

Zadanie 6.6.

73

73

73

73

73

73

Zadanie 6.7.

73

73

73

73

74

Zadanie 6.10.

74

74

74

74

74

74

Zadanie 6.14.

74

74

74

Zadanie 6.15.

74

74

74

74

74

74

75

75

75

75

75

75

75

75

75

75

91

92

92

92

92

92

92

92

92

92

92

93

Zadanie 7.13.

93

93

93

93

93

93

93

93

93

93

93

94

94

94

94

94

94

94

94

94

94

95

95

95

95

95

95

95

95

95

95

96

96

96

96

96

96

96

96

96

96

96

101

102

102

102

102

102

102

102

102

102

102

102

103

103

103

103

103

103

103

103

104

104

104

104

104

104

104

105

105

105

105

105

105

105

105

105

105

106

106

106

106

106

106

106

106

106

107

107

107

107

108

108

108

108

108

108

108

Zadanie 38.

108

108

108

108

108

109

109

109

109

109

109

109

109

109

109

110

110

110

110

110

110

Zadanie 56.

110

110

110

110

110

111

111

111

111

111

111

111

111

111

111

112

112

112

112

112

112

112

112

Pełny spis treści