W tym zadaniu trzeba ustalić jakie równanie będzie miała prosta równoległa do prostej y = 2x oraz styczna z okręgiem opisanym równaniem: x² + (y + 5)² = 4.

k – szukana prosta

l – prosta podana w treści zadania

$\text{[math]}$

Ponieważ prosta styczna do okręgu ma tylko jeden punkt wspólny z tym okręgiem, więc powyższe równanie musi mieć jedno rozwiązanie. Ponieważ jest to równanie kwadratowe, to jedno rozwiązanie ma wtedy i tylko wtedy, gdy:

$\text{[math]}$

Równania prostych równoległych do prostej podanej w treści zadania i stycznych do podanego okręgu to:

$\text{[math]}$

Współczynniki kierunkowe prostych równoległych do siebie są takie same, więc współczynnik kierunkowy szukanej prostej będzie wynosił 2 (gdyż tyle wynosi podanej prostej). Możesz zapisać, że szukana prosta jest zadana równaniem (oznacz ją jako k):

$\text{[math]}$

Punkt styczności będzie należał zarówno do szukanej prostej, jak i do podanego okręgu. Więc jego współrzędne będą spełniań oba równania na raz. Jednakże, równanie takie musi mieć jedno rozwiązane, gdyż dla jednej prostej stycznej do okręgu, jest tylko jeden punkt, który należy do obu. Gdyby były dwa takie punkty, to prosta przecinałaby okrąg, a nie byłaby styczna. Zapisz oba równania jako układ równań:

$\text{[math]}$

Zauważ, że z równania prostej masz od razu wyznaczoną zmienną y w zależności od x oraz b_k. Aby uzyskać równanie z jedną zmienną wystarczy, że do równania okręgu za y podstawisz równanie prostej.

$\text{[math]}$

Drugi nawias zawierający trzy składniki jest podniesiony do kwadratu. Rozpisz go sobie osobno jako iloczyn dwóch nawiasów i go przemnóż (możesz także skorzystać ze wzoru na kwadrat sumy trzech składników, jednakże w podstawie programowej nie ma tego wzoru). Mnożąc dwa nawiasy przez siebie, mnożysz każdy składnik ze sobą i je do siebie dodajesz. Warto uprościć otrzymane wyrażenie.

$\text{[math]}$

Podstaw to co otrzymałeś do głównego wzoru.

$\text{[math]}$

A następnie uprość wyrażenie i przenieś wszystkie składniki na jedną stronę. Warto także zapisać to jako równanie ze względu na x, a więc uporządkuj je tak, by wszystkie składniki z x były obok siebie.

$\text{[math]}$

A następnie wyciągnij x z tych składników.

$\text{[math]}$

Zauważ, że otrzymałeś równanie kwadratowe ze względu na x. Równanie to powinno mieć tylko jedno rozwiązanie (jedną wartość x będącego pierwszą współrzędną punktu styczności). Równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie tylko wtedy, gdy Δ = 0. Więc musisz obliczyć Δ i przyrównać ją do zera.

$\text{[math]}$

Zauważ, że każdy ze składników jest podzielny przez 4 oraz przy każdym z nich stoi minus, więc dla uproszczenia obliczeń warto podzielić obie strony przez -4.

$\text{[math]}$

Dostałeś kolejne równanie kwadratowe. Pamiętaj, że jest to osobne równanie niż to które dostałeś z układu równań. Tam, było to równanie ze względu na x i jego rozwiązaniem była jakaś wartość x (czyli pierwszej współrzędnej punktu styczności). Natomiast tutaj zmienną jest b_k i wynikiem będzie wartość właśnie tego współczynnika. Aby otrzymać wynik wystarczy, że rozwiążesz to równanie kwadratowe, przez przeniesienie wyrazu wolnego na drugą stronę.

$\text{[math]}$

Do delty powinieneś dodać indeks odróżniający ją od pierwszej delty, gdyż te dwie delty dotyczą innych równań.

$\text{[math]}$

Otrzymałeś dwie wartości współczynnika b_k, co oznacza, że istnieją dwie proste styczne do podanego okręgu i równoległe do podanej w treści zadania prostej. Znając współczynnik b_k możesz zapisać ich równania.

$\text{[math]}$