W tym zadaniu trzeba wyznaczyć równania opisujące okręgi, które są styczne do obu osi układów współrzędnych a także do prostej zadanej równaniem y = -8.
Prosta y = -8 jest równoległa do osi OX, więc okręgi styczne do tych dwóch prostych będą zawarte pomiędzy nimi. Odległość prostej y = -8 od osi OX wynosi 8 i jest to średnica każdego z tych okręgów. Promień to połowa średnicy, więc promień każdego z tych okręgów to 4.
Środki okręgów stycznych jednocześnie do obu osi, znajdują się w odległości równej promieniowi od obu osi. Wobec tego ich współrzędne są postaci (±r, ±r). Będą cztery takie promienie, każdy w kolejnej ćwiartce układu współrzędnych. Jednakże, ponieważ szukane okręgi muszą być styczne także do prostej y = -8, która przebiega przez trzecią i czwartą ćwiartkę, to szukane okręgi będą jedynie w tych ćwiartkach. Współrzędne ich środków to:
Równanie okręgu w postaci kanonicznej ma postać:
Gdzie współrzędne środka tego okręgu to S = (a, b), zaś promień to r. Aby wyznaczyć równanie podanych okręgów, musisz znaleźć długość promieni tych okręgów oraz współrzędne środka tego okręgu, a następnie podstawić wszystkie te informacje do równania okręgu.
Zauważ, że prosta o równaniu y = -8 jest równoległa do osi OX. Więc szukane okręgi będą znajdowały się pomiędzy tymi dwiema prostymi. Odległość między tymi prostymi, to będzie średnica tych dwóch okręgów, a promień to połowa średnicy.
Oś OX wyraża się wzorem y = 0. Więc odległość między tymi dwiema prostymi to po prostu 8. I tyle wynosi średnica obu tych okręgów. Wobec tego promień obu tych okręgów wynosi 4.
Jeśli okrąg jest styczny do jednej osi układu współrzędnych, to jego odległość od tej osi wynosi tyle co promień. A ponieważ, współrzędne punktu mówią właśnie o odległości od osi układów współrzędnych, to w takiej sytuacji, w zależności od tego o styczności, do której osi mówimy, któraś ze współrzędnych będzie długością promienia z dokładnością do znaku. Ponieważ rozważane okręgi będą styczne do obu osi, to obie współrzędne środków tych okręgów będą wynosiły tyle co promień, tzn. 4, z dokładnością do znaku.
Okręgów stycznych jednocześnie do obu osi jest cztery – każdy w kolejnej ćwiartce układu współrzędnych. Jednakże okręgi te mają być styczne także do prostej y = -8. Prosta ta przebiega przez trzecią i czwartą ćwiartkę układu współrzędnych, więc tylko okręgi z tych ćwiartek będą brane pod uwagę. Na tej podstawie możesz zapisać współrzędne środków tych dwóch okręgów.
Na ich podstawie możesz napisać równania dwóch okręgów. Aby nie powtarzać tych samych obliczeń warto zapisać, ile wynosi kwadrat promienia.
Warto także pamiętać, że podstawiając współrzędne do równania zmieniasz ich znak, gdyż w równaniu, przed tymi współrzędnymi stoi minus.
Ćwiczenie B.
11Ćwiczenie C.
12Zadanie 1.
14Zadanie 2.
14Zadanie 6.
14Zadanie 9.
15Zadanie 10.
15Zadanie 12.
15Zadanie 13.
15Zadanie 14.
15Zadanie 16.
15Zadanie 17.
15Ćwiczenie A.
17Ćwiczenie B.
17Przykład 2.
19Zadanie 1.
20Zadanie 2.
20Zadanie 4.
20Zadanie 5.
20Zadanie 7.
20Zadanie 8.
20Zadanie 9.
21Zadanie 10.
21Zadanie 11.
21Zadanie 14.
21Zadanie 15.
21Zadanie 16.
21Zadanie 17.
22Zadanie 1.
26Zadanie 3.
26Zadanie 4.
27Zadanie 6.
27Zadanie 7.
27Zadanie 8.
27Zadanie 9.
27Zadanie 12.
27Ćwiczenie B.
29Zadanie 1.
30Zadanie 3.
30Zadanie 4.
30Zadanie 5.
30Zadanie 6.
30Zadanie 8.
31Zadanie 10.
31Zadanie 11.
31Zadanie 1.
35Zadanie 2.
35Zadanie 4.
36Zadanie 5.
36Zadanie 6.
36Zadanie 7.
36Zadanie 8.
36Zadanie 11.
36Zadanie 12.
36Zadanie 14.
37Zadanie 1.
38Zadanie 11.
38Zadanie 12.
38