Matematyka z Plusem. Klasa 4. Podręcznik – rozwiązania i odpowiedzi

Podręcznik, Wydawnictwo: GWO

Zadanie 15. - strona 37

W tym zadaniu trzeba obliczyć jakie współrzędne mają punkty przecięcia się elipsy zadanej równaniem $\text{[math]}$ i mającej ogniska w punktach punkty $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ z osiami OX oraz OY. Musisz także dla każdego z otrzymanych punktów obliczyć sumę odległości do punktów P₁ i P₂. Informacje na temat elipsy znajdziesz w ramce powyżej, zaś obok znajduje się rysunek przedstawiający rozważaną elipsę.

Pierwsza współrzędna punktów przecięć elipsy z osią OY wynosi 0.

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Więc punkty przecięcia się tej elipsy z osią OY to:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Druga współrzędna punktów przecięć elipsy z osią OX wynosi 0.

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Więc punkty przecięcia się tej elipsy z osią OX to:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Sumy odległości poszczególnych punktów przecięć do punktów P₁ i P₂

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Pierwsza współrzędna punktów przecięć elipsy z osią OY wynosi 0. Więc jeśli podstawisz do równania tej elipsy x = 0 i rozwiążesz je, to otrzymasz drugie współrzędne punktów przecięć tej elipsy z osią OY.

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Pamiętaj, że pierwiastkując obustronnie musisz rozważyć obydwa przypadki.

$\text{[math]}$

Więc punkty przecięcia się tej elipsy z osią OY to:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Analogicznie możesz wyznaczyć współrzędne punktów przecięcia się tej elipsy z osią OX, z tą różnicą, że wtedy druga współrzędna tych punktów będzie wynosiła 0. Więc musisz do równania podstawić y = 0 i je rozwiązać.

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Pamiętaj, że pierwiastkując obustronnie musisz rozważyć obydwa przypadki.

$\text{[math]}$

Więc punkty przecięcia się tej elipsy z osią OY to:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Aby obliczyć sumę odległości od punktów P₁ i P₂ musisz użyć wzorów na odległość między dwoma punktami. Zastosuj go do każdego z punktów a następnie dodaj do siebie te odległości.

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Tutaj skorzystasz z tego, że pierwiastek z kwadratu liczby to wartość bezwzględna tej liczby.

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

(ponieważ $\text{[math]}$ , więc wyrażenie w wartości bezwzględnej będzie mniejsze od 0)

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Zgodnie z informacją w ramce, dla każdego z badanych punktów suma odległości od ognisk jest taka sama i wynosi w tym wypadku 4.

Zadanie 30., strona 193, Matematyka z plusem. Klasa 2. Zbiór zadań. Zakres podstawowy i rozszerzony – rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 13., strona 121, Matematyka. Klasa 7. Zbiór zadań – rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 31, strona 190, Matematyka. Klasa 5. Podręcznik - rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 4, strona 69, MATeMAtyka. Klasa 3. Zbiór zadań. Zakres podstawowy i rozszerzony – rozwiązania i odpowiedzi

Ćwiczenie 7., strona 45, Matematyka z plusem. Klasa 5. Zeszyt ćwiczeń. Wersja B. Część 1/2 - rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 8., strona 265, Matematyka. Klasa 4. Podręcznik. Zakres rozszerzony – rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 8.57., strona 301, Prosto do matury 4. Zakres podstawowy i rozszerzony. Podręcznik - rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 5 zamknięte, strona 11, Matematyka wokół nas. Klasa 6. Zbiór zadań - rozwiązania i odpowiedzi

Przykład 1, strona 206, Matematyka z plusem. Klasa 2. Podręcznik. Zakres podstawowy - rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 15, strona 55, Matematyka z plusem. Klasa 7. Zbiór zadań – rozwiązania i odpowiedzi

10

11

11

Ćwiczenie B.

11

11

11

12

Ćwiczenie C.

12

12

12

12

13

Zadanie 1.

14

14

14

14

14

Zadanie 2.

14

14

14

14

14

14

Zadanie 6.

14

14

14

14

14

Zadanie 9.

15

15

15

15

Zadanie 10.

15

15

15

15

Zadanie 12.

15

15

15

Zadanie 13.

15

15

15

15

Zadanie 14.

15

15

15

15

15

15

Zadanie 16.

15

15

15

15

15

Zadanie 17.

15

15

15

15

15

15

16

16

16

Ćwiczenie A.

17

17

17

Ćwiczenie B.

17

17

17

17

17

18

18

19

Przykład 2.

19

19

19

Zadanie 1.

20

20

20

Zadanie 2.

20

20

20

20

Zadanie 4.

20

20

20

20

Zadanie 5.

20

20

20

20

20

20

Zadanie 7.

20

20

20

20

20

Zadanie 8.

20

20

20

Zadanie 9.

21

21

21

Zadanie 10.

21

21

21

21

21

Zadanie 11.

21

21

21

21

21

21

21

Zadanie 14.

21

21

21

Zadanie 15.

21

21

21

Zadanie 16.

21

21

21

21

Zadanie 17.

22

22

22

22

22

22

22

23

24

26

Zadanie 1.

26

26

26

26

Zadanie 3.

26

26

26

26

Zadanie 4.

27

27

27

27

Zadanie 6.

27

27

27

Zadanie 7.

27

27

27

Zadanie 8.

27

27

27

Zadanie 9.

27

27

27

27

27

Zadanie 12.

27

27

27

28

28

28

28

Ćwiczenie B.

29

29

29

29

29

Zadanie 1.

30

30

30

30

30

30

30

30

Zadanie 3.

30

30

30

30

30

Zadanie 4.

30

30

30

30

Zadanie 5.

30

30

30

30

30

30

30

Zadanie 6.

30

30

30

30

Zadanie 8.

31

31

31

31

Zadanie 10.

31

31

31

Zadanie 11.

31

31

31

31

31

31

31

33

34

35

Zadanie 1.

35

35

35

35

35

Zadanie 2.

35

35

35

35

Zadanie 4.

36

36

36

36

36

Zadanie 5.

36

36

36

Zadanie 6.

36

36

36

36

Zadanie 7.

36

36

36

36

36

Zadanie 8.

36

36

36

36

36

36

Zadanie 11.

36

36

36

36

36

Zadanie 12.

36

36

36

36

36

36

Zadanie 14.

37

37

37

37

37

37

37

37

37

Zadanie 1.

38

38

38

38

38

38

38

38

38

38

38

38

Zadanie 11.

38

38

38

Zadanie 12.

38

38

38

38

38

38

Pełny spis treści