W tym zadaniu trzeba wyliczyć jaką długość ma cięciwa okręgu na rysunku poniżej.

Prosta zawierająca cięciwę: y = -x.

Równanie okręgu: (x + 1)² + (y + 1)² = 9

Wyznaczanie punktów przecięcia okręgu i prostej zawierającej cięciwę:

$\text{[math]}$

Więc punkty przecięcia rozważanej prostej i okręgu to:

$\text{[math]}$

Szukana długość cięciwy to odległość między tymi dwoma punktami:

$\text{[math]}$

Aby wyznaczyć długość zaznaczonej cięciwy najpierw musisz wyznaczyć punkty przecięcia się prostej zawierającej tę cięciwę z okręgiem, a następnie wyliczyć odległość między tymi punktami. Z kolei, aby wyznaczyć punkty przecięcia się wspomnianej prostej z okręgiem musisz znać równanie tej prostej.

Zauważ, że prosta zawierająca przechodzi przez środek układu współrzędnych. Wobec tego dla x = 0, y także wynosi 0. Zapisując równanie tej prostej w postaci kierunkowej i podstawiając te dane otrzymasz, że 0 = 0a + b, co oznacza, że współczynnik b tej prostej to 0. Zauważ, że ta prosta przechodzi przez punkt (-1, 1). Podstawiając odpowiednio te współrzędne otrzymasz, że 1 = (-1)a. Dzieląc obie strony przez (-1) otrzymasz, że a = -1. Wobec czego równanie tej prostej to y = -x.

Do wyznaczenia punktów przecięcia prostej z okręgiem potrzebujesz także równania okręgu. Aby zapisać równanie okręgu potrzebujesz współrzędnych środka okręgu oraz jego promienia. Obie te wartości musisz odczytać z rysunku. Współrzędne środka tego okręgu to (-1, -1), zaś promień wynosi 3. Podstawiając te wartości do równania okręgu otrzymasz, że ten okrąg opisany jest równaniem: (x + 1)² + (y + 1)² = 9 (pamiętaj, że podstawiając do równania współrzędne środka musisz zapisać je z przeciwnym znakiem).

Współrzędne punktów przecięcia podanej prostej z okręgiem będą spełniać układ równań składający się z równań podanej prostej i okręgu. Mają być to punkty, które jednocześnie należą do tej prostej i okręgu, więc muszą spełniać równania je opisujące na raz.

$\text{[math]}$

Zauważ, że z równania prostej masz od razu wyznaczoną zmienną y w zależności od x. Aby uzyskać równanie z jedną zmienną wystarczy, że do równania okręgu za y podstawisz równanie prostej.

$\text{[math]}$

Aby rozpisać obydwa nawiasy użyjesz wzorów skróconego mnożenia. Jednakże, aby zastosować ten wzór do drugiego nawiasu musisz zmienić kolejność wyrazów wewnątrz niego.

$\text{[math]}$

Pamiętaj, że pierwiastkując obustronnie musisz rozważyć przypadek dodatni i ujemny.

$\text{[math]}$

Ponieważ otrzymałeś w mianowniku pierwiastek musisz usunąć niewymierność z mianownika, przez przemnożenie licznika i mianownika przez ten pierwiastek.

A następnie uprość wyrażenie i przenieś wszystkie składniki na jedną stronę.

$\text{[math]}$

Otrzymałeś równanie kwadratowe, które musisz rozwiązać przy użyciu Δ.

$\text{[math]}$

Teraz aby otrzymać drugie współrzędne tych punktów musisz podstawić otrzymane liczby do któregokolwiek równania. Oczywiście łatwiej jest wyliczyć y z równania prostej.

$\text{[math]}$