W tym zadaniu musisz obliczyć jakie są wartości kątów w trójkącie, którego boki są wyznaczone przez oś x, prostą zadaną równaniem y = -x + 5 oraz drugą prostą o równaniu $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

Kąty A i C to kąty między osią OX a odpowiednio prostymi k i l.

$\text{[math]}$

Kąt C – kąt ostry

$\text{[math]}$

Kąt A’ – kąt przyległy do A.

$\text{[math]}$

Kąt A – kąt ostry

$\text{[math]}$

Odp.: Kąty w tym trójkącie mają miary: 45°, 60° oraz 75°

Dla łatwiejszego zapisu przyjmij, że prosta o równaniu y = -x +5 to prosta k, zaś prosta $\text{[math]}$ to prosta l. Dobrze jest sporządzić rysunek pomocniczy, aby można było coś łatwiej zauważyć. Oczywiście nie musi to być dokładny rysunek, jednak musisz zachować podstawowe własności tych prostych. Z własności funkcji liniowej przypomnij sobie, że o tym czy prosta jest rosnąca czy malejąca decyduje znak współczynnika przy x (funkcja liniowa to równanie prostej w postaci kierunkowej, aczkolwiek w tym przypadku obie proste są w postaci kierunkowej). Więc prosta k będzie malejąca (bo przy x stoi -), zaś prosta l będzie rosnąca (bo przy x stoi dodatni współczynnik). Musisz też rysując te proste umieścić je w dobrych „miejscach” w układzie współrzędnych. Aby to zrobić wystarczy, że będziesz wiedział czy dana prosta przecina oś OY nad osią OX czy pod. Aby policzyć współrzędne punktu przecięcia się prostej z osią OY do równania prostej podstawiasz x = 0. Gdy zrobisz takie podstawienie to wyraz z x „zniknie” i zostanie sam wyraz wolny. Więc aby określić w którym punkcie funkcja będzie przecinała oś OY wystarczy, że spojrzysz na sam wyraz wolny. Wyraz wolny to automatycznie druga współrzędna punktu przecięcia się z osią OY. Prosta k będzie się przecinała z osią OY dla y = 5, zaś prosta l – dla y = 7, a więc „wyżej”. Mając te informacje możesz narysować rysunek pomocniczy.

Warto także zaznaczyć rozważany trójkąt oraz oznaczyć szukane kąty.

Zauważ, że kąty A i C to kąty między osią OX a odpowiednio prostymi k i l. Przypomnij sobie własność dotyczącą kąta przecięcia się prostej z osią OX. Tangens tego kąta to po prostu współczynnik kierunkowy prostej. A więc dla prostej l zachodzi:

$\text{[math]}$

Oczywiście kąt C jest kątem ostrym (wynika to z samego rysunku, aby kąt C był rozwarty prosta l musiałaby być malejąca). Patrząc na tabelkę wartości funkcji trygonometrycznych musisz znaleźć taki kąt, dla którego tangens wynosi $\text{[math]}$ . Jest to kąt wynoszący $\text{[math]}$ rad, czyli 60°.

W przypadku prostej k zauważ, że gdy postąpisz podobnie, to otrzymasz ten kąt, który jest „na zewnątrz” trójkąta. Jednakże zauważ także, że ten kąt „na zewnątrz” i kąt A, tworzą razem kąty przyległe, a więc ich suma wynosi 180°. Więc, jeśli ten kąt „na zewnątrz” oznaczysz jako A’, to:

$\text{[math]}$

Więc tangens kąta A’ to współczynnik kierunkowy prostej k:

$\text{[math]}$

Teraz zamiast A’ możesz podstawić wyrażenie z A oraz skorzystać ze wzoru redukcyjnego.

$\text{[math]}$

Oczywiście kąt A jest kątem ostrym (wynika to z samego rysunku, aby kąt A był rozwarty prosta k musiałaby być rosnąca). Patrząc na tabelkę wartości funkcji trygonometrycznych musisz znaleźć taki kąt, dla którego tangens wynosi 1. Jest to kąt wynoszący $\text{[math]}$ rad, czyli 45°.