W tym zadaniu trzeba określić jak względem siebie są położone (styczne, przecinające się lub rozłączne) okręgi zadane równaniami x² + y² = 10 oraz (x + 1)² + (y – 7)² = 26.

$\text{[math]}$

Suma promieni:

$\text{[math]}$

Ponieważ pierwiastek z 5 jest na pewno większy od 2 (bo 5 > 4), a pierwiastek z 13 jest większy od 3 (bo 13 > 9), to ich suma jest większa od 5.

$\text{[math]}$

Różnica promieni:

$\text{[math]}$

Ponieważ pierwiastek z 13 jest na pewno mniejszy od 4 (bo 13 < 16), a pierwiastek z 5 jest na pewno większy od 2 (bo 5 > 4), to ich różnica jest mniejsza od 2.

$\text{[math]}$

Więc te okręgi przecinają się.

Dwa okręgi są zewnętrznie rozłączne, jeśli odległość między ich środkami jest większa niż suma ich promieni, są styczne, jeśli odległość wynosi tyle co suma ich promieni, zaś przecinają się, jeśli ta odległość jest mniejsza nić suma promieni.

Musisz jeszcze pamiętać o sytuacji, kiedy jeden okrąg znajduje się wewnątrz drugiego. Taka sytuacja zachodzi, gdy odległości między środkami okręgów jest mniejsza od różnicy promieni (oczywiście w module, by różnica ta nie była ujemna). Natomiast jeśli odległość między środkami okręgów równa się tej różnicy to okręgi są styczne wewnętrznie.

Więc zadanie sprowadza się do obliczenia odległości między środkami podanych okręgów i porównaniu jej z sumą ich promieni, a jeśli ta odległość okaże się mniejsza od sumy, to jeszcze powinieneś porównać ją z różnicą promieni

Jednakże, aby obliczyć odległość między środkami okręgów musisz wyznaczyć współrzędne tych środków a także ich promienie.

Równanie okręgu w postaci kanonicznej ma postać:

$\text{[math]}$

Gdzie współrzędne środka tego okręgu to S = (a, b), zaś promień to r. Na tej podstawie możesz odczytać współrzędne środków tych okręgów oraz ich promienie. Pamiętaj, że przy współrzędnych środka stoją minusy, więc odczytując je pamiętaj by zmienić znak.

$\text{[math]}$

Odległość między tymi środkami obliczysz ze wzoru na długość odcinka łączącego dwa punkty:

$\text{[math]}$

Suma promieni:

$\text{[math]}$

Ponieważ pierwiastek z 5 jest na pewno większy od 2 (bo 5 > 4), a pierwiastek z 13 jest większy od 3 (bo 13 > 9), to ich suma jest większa od 5. Więc możesz stwierdzić:

$\text{[math]}$

Różnica promieni:

$\text{[math]}$

Ponieważ pierwiastek z 13 jest na pewno mniejszy od 4 (bo 13 < 16), a pierwiastek z 5 jest na pewno większy od 2 (bo 5 > 4), to ich różnica jest mniejsza od 2. Więc możesz stwierdzić:

$\text{[math]}$