Dany jest pewien prostopadłościan. Przeprowadzono przez niego dwie płaszczyzny, nachylone do podstawy pod kątem α. Każda z nich zawiera różną, nierównoległą względem siebie krawędź podstawy. Załóż, że kąt α ma taką miarę, że żadna z płaszczyzn nie ma punktu wspólnego z przeciwległą podstawą. Udowodnij, że pola przekrojów utworzonych przez te płaszczyzny są równe.
T:
D:
Oznacz krawędzie podstawy jako 𝑎 i 𝑏. Zauważ, że oba przekroje to prostokąty.
W przypadku płaszczyzny, w której zawarta jest krawędź 𝑎, drugi bok przekroju jest zawarty w prostej nachylonej pod kątem α do krawędzi długości 𝑏. Zauważ, że bok przekroju tworzy trójkąt prostokątny w ścianie bocznej prostopadłościanu. Oznacz długość boku przekroju, a jednocześnie przeciwprostokątnej trójkąta jako 𝑥. Mamy relację:
Wyznacz długość boku przekroju:
Pole pierwszego przekroju wynosi:
Poprzez podobny argument dla drugiej płaszczyzny zauważ relację:
Pole drugiego przekroju wynosi:
Mamy zatem równość:
Wykorzystaj definicje funkcji trygonometrycznych oraz przemienność mnożenia, by pokazać, że wzory na pola obu przekrojów mają ten sam wzór.
Ćwiczenie A.
252Ćwiczenie B.
253Ćwiczenie C.
253Zadanie 3.
255Zadanie 7.
256Zadanie 8.
256Zadanie 9.
256Zadanie 10.
257Zadanie 11.
257Zadanie 18.
260Zadanie 19.
260Zadanie 23.
261Zadanie 24.
261Zadanie 25.
261Przykład 1.
263Zadanie 1.
264Zadanie 2.
264Zadanie 5.
264Zadanie 6.
265Zadanie 8.
265Zadanie 9.
265Zadanie 10.
265Ćwiczenie A.
267Przykład 3.
273Zadanie 1.
274Zadanie 4.
274Zadanie 7.
274Zadanie 10.
275Zadanie 11.
275Zadanie 12.
275Zadanie 14.
275Zadanie 17.
276Zadanie 1.
281Zadanie 2.
281Zadanie 3.
281Zadanie 4.
282Zadanie 6.
282Zadanie 8.
282Zadanie 10.
283Zadanie 11.
283Zadanie 12.
283Zadanie 13.
283Zadanie 14.
283Zadanie 19.
284Zadanie S1.
284Ćwiczenie B.
286Zadanie 1.
288Zadanie 2.
288Zadanie 3.
288Zadanie 7.
289Zadanie 9.
289Zadanie 14.
290Zadanie 15.
290Zadanie 3.
292Zadanie 5.
292